Body and Soul Project vs Consciousness

Recent posts on the nature of consciousness lead back to the mathematics education reform project Body  and Soul complemented by Leibniz World of Mathematics based on unity of mathematics/soul and computation/body, which connects to trinities of 

• Circle enclosing Yin and Yan. 
• Sat enclosing Chit and Ananda in Hindu tradition. 
• Brahma enclosing Vishnu-Krishna/soul and Shiva/body.
• God enclosing Father-Son/soul and Holy Spirit/body.

More specifically, the book Being You: A New Science of Consciousness by Anil Seth gives a many-faceted survey of the science of consciousness with focus on the subjective experience of Being Me as phenomenology rather than functional/behavioural aspects, as the real problem of consciousness:

• What is subjective experience of e g "redness"?

The central message is:

• Consciousness has more to do with being alive than with being intelligent. 
• We are conscious selves precisely because we are beast machines. 
• The experiences of being you, or of being me, emerge from the way the brain predicts and controls the internal state of the body. 
• The essence of selfhood is neither a rational mind nor an immaterial soul. It is a deeply embodied biological process, a process that underpins the simple feeling of being alive that is the basis for all your experiences of self, indeed for any conscious experience at all. 
• Being you is literally about your body.

I believe this captures something essential. It seems to me that feeling of being alive ultimately arises from tactile sense/touch input from the body appearing as feelings of pain and pleasure allocated to bodily origins with finger tips and erogenous zones extra sensitive. This is also the experience of a person blind from birth showing that feelings of "redness" may be secondary as some form of derivative of touch feeling. All feelings would then ultimately be some form of transcriptions of the sense of touch on the exterior of the body defining the subject.  

A machine equipped with AI or AGI would then not be conscious because feelings of pain and pleasure from sensory inputs would be missing, and so would be a arobot and not a replica of a human being. The other way around, a human being without feelings would not be a true human being.

On the other hand, all living things capable of of feeling pain and pleasure would be expected to have some form of (primitive) consciousness. 

For a human being consciousness also includes higher order cognitive capacities of speaking and "thinking" as derivatives of feelings.  

The Body and Soul project can be seen as machine with AI/AGI, but directly connects to human consciousness by opening to "understanding the world".      

Computing with Real Numbers

This is a continuation of the previous post How to avoid collapse of modern mathematics.

Let me see if the constructive computational approach to mathematics adopted in the BodySoul program can meet the criticism expressed by Norman Wildberger as concerns the foundations of the large areas of mathematics relying on the concept of real number.  In particular Wildberger asks about the elementary process of adding two real numbers such as $\sqrt{2}$ and $\pi$: 

• $\sqrt{2}+ \pi = ?$ 

Let us then use the least cryptic definition of a real number as an infinite decimal expansion. But asking for the infinite decimal expansion of $\sqrt{2}$ is asking too much, and so we have to limit the specification to a finite number of decimals, and the same with $\pi$. We can then add these numbers using well specified rules for computing with rational numbers, and so arrive at a finite decimal expansion as an approximation of $\sqrt{2}+ \pi$. We can choose the number of decimals to meet a given precision requirement. Fair enough. 

But how do we know the decimal expansions of $\sqrt{2}$ and $\pi$?. Before the computer they would have to be picked up from a printed precomputed mathematical table, but only up to finitely many decimals and the table would swell beyond all limits by asking for more and more decimals. Today with the computer, you can press a button and let $\sqrt{2}$ be computed from scratch using Newton's method, but even if this algorithm is very efficient, the required work/time would increase beyond limit by asking for more and more decimals. 

The computer would compute the sum $\sqrt{2}+ \pi$ in an iterative computational process involving:

1. Compute $\sqrt{2}$ with say $5$ decimals.
2. Compute $\pi$ with say $5$ decimals.
3. Add these decimal expansions using the addition algorithm for finite decimal expansions.
4. Check if a desired precision is met, and if not go back to 1. and increase the number of decimals.  

This would reduce the foundation of mathematics to computational processes, and this is the approach of BodySoul: All mathematical objects are constructed by specified finitary computational processes as finite precision solutions to specified equations. 

For example, the value of the exponential function $\exp(t)$ for any value $t>0$ is computed by solving the differential equation $x^\prime (s)=x(s)$ for $0<s\le t$ with $x(0)=1$ by time stepping, where $x^\prime $ is the derivative of $x$, and setting $\exp(t)=x(t)$. No values of $\exp(t)$ are stored. New computation from scratch for each value of $t$. This is the only way to avoid storing real numbers as infinite decimal expansions, which is impossible in a finite Universe. 

Is Wildberger happy with such a response to his criticism. And what about you?

In any case, pure mathematicians will not welcome a foundation based on non-pure computational mathematics, even if it would solve unresolved foundational questions concerning real numbers and elementary functions of real numbers as solutions to differential equations. 

There was a tough fight at the turn to to modernity in the beginning of the 20th century concerning the foundations of mathematics between logicism (Russell), formalism (Hilbert) and constructivism/intuitionism (Brouwer), which was won by Hilbert in the 1930s thus setting the scene for 21st century mathematics. But with the computer, constructivism is now taking over by offering a concrete foundation without lofty speculation of infinities.  

A formalist can introduce $\mathcal{R}$ as the set of equivalence classes of all Cauchy sequences of rational numbers thus as a set defined by a certain property. Russell showed the danger of defining sets this lofty way by his famous example of a set defined by the property of not containing itself leading to a contradiction. Gödel turned Russell's example into more precise form, which should have killed both the logicist and formalist school, but did not since the reaction was to kick out constructionists compatible with Gödel from mathematics departments to form separate departments of computer science. Mathematics departments/education is still controlled by formalists, which means that Wildberger's criticism is not welcome.    

Update of DigiMat: Basic + BodyandSoul

The DigiMat Project has been updated with new material:

• Basic: New version of Preschool App
• BodyandSoul: Model Work Shop 

Take a look.

Dark Energy Appearing at App Store

The app version of Body&Soul is now starting to appear on App Store with a first app on a new theory of Dark Energy now available for free download.

It gives an eye-opening experience into one of the basic mysteries of modern physics. Try it out and see if you get the idea!

BodyandSoul to appear on App Store

I have now submitted the following interactive apps to App Store:

The apps are under review and should be available for download and inspection in a week or so.
Codes will be available at Matematik-IT.

My plan is to make a complete version of the Body&Soul program in app form. The basic idea is to learn about real and imagined worlds by programming interactive apps simulating these worlds.

Notice in particular the app on Dark Energy connecting to the previous post.

BodySoul Mathematical Simulation Technology Translated to Chinese

Today I recieved the following letter from Zhimin Zhang (with copy to Qun Lin as a leading Chinsese applied mathematician):

Dear Professor Johnson,

First, I would like to apologize for taking almost 4 years to get back to you about your book. The reason was that Professor Lin wanted to understand and "digest" your book more before talking with you.

To make a long story short, he likes your book very much and has organized a group of Ph.D. students to translate your book into Chinese. It is a book with more than 1600 pages and that is why it takes almost 4 years to complete. Now Professor Lin wants me to ask for your permission to publish the Chinese translation of your book. In addition, if you have updated your book, we would like to have the new version and update our translation.

We look forward to your favorable response, Zhimin.

I replied that I was glad to hear this and suggested to set up a formal agreement about the use of BodySoul Mathematical Simulation Technology in China. I will report what comes out of this.

I recall that the book is censored at KTH, and so apparently Sweden has stricter censorship than China.

The number of fresh engineering students each year is 1000 at KTH, while it is 10.000.000 in China.

Traditional TextBook Is Dead: Long Live New WebBook

• Textbook publisher predicts death of “dead tree” books within 3 years.
• Death of the Text Book - and the 50-pound Book Bag
• Facebook Co-founder Chris Hughes: The textbook is dead: 
• In the next five to seven years, the textbook is no longer going to be the basic building block of education.
• On a similar note, Nobel Laureate Harry Kroto said he now regards Wikipedia as more accurate than printed textbooks and far less costly for both students and educators. In preparing his GEOSET lectures, Kroto said, he never uses a single textbook.

The traditional university course, in mathematics and physics in particular, is based on a traditional printed textbook, which defines the course, its subject, questions and answers.

The traditional printed textbook is cut in stone and defines knowledge by exclusion: What is not in the textbook is not of concern. The world is defined by what is inside the book and that is what defines the exam questions. The student is supposed to go inside the closed world of the textbook and not look out and get distracted. The textbook answers specific questions posed in the book, and other questions should not be asked.

The previous post reported about an education leader at Chalmers University of Technology who complained that today students no longer read textbooks; instead they check out lecture notes based on the book if any,  ask a study mates, search the web, look at a web-lecture from MIT or Khan Academy. Since they do not use the text book, they do not need to buy it either and thus can save some money.

The traditional textbook will be replaced by something on the web, some form of WebBook and the question is what that may be?

One thing seems clear and that is that the WebBook will be open to the exterior, in contrast to the traditional text book forming its own closed world without window.

The WebBook will be formed by inclusion through links to the exterior. The traditional textbook is based on exclusion and does not have links to the exterior.

The new web student will take a new active role and independently search and collect material to bring into the course, instead of passively relying on the words of the book transmitted through the teacher.

The web teacher will have to give up the omnipotent role of understanding everything by understanding everything in the book defining the world, but not necessarily much more, and join the student in search and collection of stuff to bring into the course.

These new roles are now forming and it will be very interesting to follow this process.        

Den Traditionella Lärobokens Död

Mikael Enelund, programansvarig för utbildningen i Maskinteknik vid Chalmers, levererar i en brevväxling angående BodyandSoul på Chalmers följande skakande observation från vad som prisats vara den bästa teknikutbildningen i landet:

• Min erfarenhet är att studenterna läser litteraturen i allt mindre omfattning. De praktiserar modellen "trial and error" dvs att försöka lösa problemet först och om det behövs titta på föreläsningsanteckningarna, fråga en kompis eller en lärare, söka på nätet, titta på en föreläsning från MIT eller Khan academy etc och i sista hand titta i läroboken.

Detta är, mina läsare, inget annat än en dödförklaring av den traditionella läroboken, den tjocka tryckta amerikanska kursboken på glättat papper mellan styva pärmar inhandlad för dyra pengar, eller kurskompendiet som läraren själv snickrat ihop och sålt till studenterna år efter år. 

Nu finns nätet, och ingen köper längre en dyr lärobok för sedan inte titta i den, och läraren finner ingen mening i att skriva ett kompendium när allt redan finns på nätet.

Vad skall då läraren göra utan kursbok eller kompendium? Vad skall föreläsningarna bestå av om det inte finns någon kursbok eller kompendium att kopiera på svarta tavlan? Vad skall tentan bestå av om det inte finns en kursbok som anger vad som inte ingår i kursen och istället nätet tränger in från alla håll?

Se där några frågor som dagens lärare, studenter, läroboksförfattare och utbildningsledare står inför. Låt oss söka svar i några kommande poster...Vi börjar med begrunda The text book is dead uttryckt av Facebook Co-founder Chris Hughes:

• In the next five to seven years, the textbook is no longer going to be the basic building block of education.

On a similar note, Nobel Laureate Harry Kroto said he now regards Wikipedia as more accurate than printed textbooks and far less costly for both students and educators. In preparing his GEOSET lectures, Kroto said, he never uses a single textbook.

PS Man kan också begrunda:

• Textbook publisher predicts death of “dead tree” books within 3 years.

BodyandSoul Sågas Definitivt på Chalmers

Nedan finns korrespondens mellan mig och Stig Larsson rörande BodyandSoul (BS), som visar att ingen form av BS med mitt namn är tänkbart på Chalmers, åtminstone inte enligt Stig, vad jag förstår. 

Däremot kommer BS utan mitt namn att fortsätta att framhållas av Chalmers och särskilt M som siktar på att leverera den bästa utbildningen i landet, eller t o m världen, och då prisas av näringslivet som ett lysande exempel på den innovativa reform av ingenjörsutbildningen som alla avnämare frågar efter:

• Vilja och kraft till ständiga förbättringar. Det är en av anledningarna till att civilingenjörsutbildningen i maskinteknik på Chalmers belönas med Årets Teknikutbildning Högskola 2012.

Eftersom inget material från BS med mitt namn kan användas, så måste Chalmers nu återskapa detta i egen regi utan att kopiera och då till stora kostnader. Detta verkar vara lika irrationellt som roten ur två. Att kalla kopiering för  "inspiration" som Stig gör, är inte korrekt. Det krävs engagemang och tid för att skriva något nytt, och det behövs om man inte bara skall kopiera. 

Stig säger att  han "inte är nöjd" med boken av Adams som används som grundtext,  men att den ändå "fungerar". Om BS säger nog Stig att han "är nöjd", eftersom han kopierar den, men att den "inte fungerar". Så kan det vara i matematikens logiska värld.

Brev till Stig Larsson 26/11:

Hej Stig

Skulle Du kunna beskriva lite närmare vilka överväganden som låg till grund för att BS avfördes
som kurslitteratur på Chalmers när jag flyttade till KTH, efter att ha använts 2000 - 2006 på K?

Var det Du som fattade detta beslut eller någon annan? Vem i så fall? Vilka var skälen att ersätta BS med en traditionell bok som Adams?

Du säger att Adams skall ersättas "på sikt" eftersom den som traditionell bok inte egentligen passar det reformprogram Du driver på M, antar jag. Hur ställer Du Dig till en ny version av BS utformad enligt önskemål från Chalmers? Skulle detta kunna lösa problemet att finna adekvat kurslitteratur till Ditt reformprogram på M?

Vänligen, Claes

Svar från Stig 28/11: 

Hej Claes.

Det var jag som fattade beslutet om att byta kurslitteratur. Skälet var
att BS inte fungerade bra som lärobok. Jag hade länge försvarat den mot
K-studenternas (rättmätiga) klagomål med argumentet att det finns ingen
annan bok med detta viktiga innehåll. Jag gav upp när jag insåg att vi
skulle kunna klara det med standardbok plus kompletteringar.

Adams fungerar men jag är inte nöjd med den. En ny bok behöver skrivas,
men den måste växa fram ur våra föreläsningsanteckningar. Därför avböjer
jag ditt erbjudande om en ny version av BS.

Vänligen, Stig

Brev till Stig 281/11:

Tack för detta svar Stig.

BS fungerande inte sämre än någon annan mattebok under den tid den användes 2000 - 2006, det vet Du mycket väl. Huruvida en bok funkar eller ej beror hur den presenteras av lärarna. Så länge det fanns engagerade lärare funkade BS bra, men när flera av dessa lämnade Chalmers runt 2006-7 så föll reformen ihop. Inte svårt att förstå. Förmodligen var Du utsatt för (en del av) den press jag utsatts för och som tvingade mig att lämna Chalmers.

När Du nu tackar nej till varje form av samarbete med BS och mig, så kan jag inte tolka det på annat sätt än att Du fortfarande är utsatt för press och inte är fri att handla rationellt. När jag läser vad Du skriver så ser jag att det mesta är hämtat från BS i form av vad Du kallar "inspiration", men som lika gärna skulle kunna kallas kopiering. I denna anda har Du har sedan 2007 skrivit ett litet kompendium i Beräkningsteknik och jag antar att resten av BS på samma sätt skall "växa fram ur föreläsningsanteckningar", men vad är realismen i detta? Är det verkligen meningsfullt att ägna en massa tid åt att göra det som redan är gjort, eller med BS i bagaget lätt skulle kunna göras? Vore det inte bättre att ägna tillgängliga resurser åt att göra något nytt och unikt som kan läggas till BS? För att på detta sätt få ett riktigt starkt program på Chalmers som Du skulle kunna ha glädjen av att ha skapat. Skulle inte det vara bra? Den enda haken skulle vara att mitt namn skulle finnas på någon del av texten.

Är det verkligen fortfarande så att BS utan mitt namn är lysande (Du har ju prisats för detta),
medan BS med mitt namn är så dåligt att det måste sågas? Ja, kanske är det så. Men vore det
inte mer rationellt att säga om nu tankarna i BS är så bra, så kanske personen som framfött tankarna också skulle kunna accepteras, mer eller mindre, om man nu tänker på att huvudmålet är att ge studenterna en modern adekvat matteutbildning?

Skulle Du inte, för M-studenternas skull och M-ledningen och hela M-utbildningen, kunna tänka en gång till och se om det inte trots allt vore rationellt att åtminstone sätta ihop en kravspecifikation på en ny version av BS, utan någon som helst förbindelse att köpa om jag skulle kunna leverera? Skulle inte M-ledningen, som kanske inte är lika allergisk mot mitt namn som Matematik, kunna tycka att denna tanke ändå kunde prövas, med tanke på studenterna som nog är ännu mindre allergiska?

Vad säger Du Stig? Vi har ju väsentligen samma vision vad gäller matteutbildning och det vore väl korkat om vi då inte samarbetar till båtnad för studenterna och M och Chalmers?

Vänligen, Claes

Svar från Stig: = 0 

Response från Mikael Enelund 28/11:

Hej Claes.

Som jag sagt tidigare lämnar jag valet av kurslitteratur till kursens lärare. Mitt fokus är kursernas lärandemål, att kurserna passar in i M-programmet, kursernas resultat och i viss mån pedagogiken samt att kurserna ständigt utvecklas.

Stig och Anders har meddelat att de inte är nöjda med Adams och jag har förstått att de planerar att utveckla egna texter baserat på sina föreläsningsanteckningar. Detta är jag nöjd med. Jag har som sagt förstått att de använder dina texter och idéer som inspiration och även det tycker jag är bra. Huruvida de refererar till dina texter korrekt och i tillräcklig omfattning har jag ingen åsikt om. Det får ni klara upp er sinsemellan.

Jag är mycket nöjd att ha Stig och Anders som lärare på M-programmet. Jag är övertygade om att de är Chalmers bästa mattelärare och de som är mest lämpade att undervisa blivande M-ingenjörer. Kursen Inledande matematik för M1 är precis utvärderad och studenterna är mycket nöjda. I kursenkäten blev medelvärdet av studenternas sammanfattande betyg på kursen 4,3 (5). Det är ytterst få kurser i programmet som når detta betyg och unikt högt för en första kurs i matematik.

Jag tycker att fokuseringen på kurslitteraturen är olycklig. Min erfarenhet är att studenterna läser litteraturen i allt mindre omfattning. De praktiserar modellen "trial and error" dvs att försöka lösa problemet först och om det behövs titta på föreläsningsanteckningarna, fråga en kompis eller en lärare, söka på nätet, titta på en föreläsning från MIT eller Khan academy etc och i sista hand titta i läroboken. Jag tror att denna modell kan var effektiv åtminstone i de kurser jag undervisar i verkar det fungera. I det här sammanhanget blir det viktigt att vi tillhandahåller "rätt" problem och tillåter studenterna att formulera egna problem.

Detta, matematikinnehåll och pedagogik diskuterar jag gärna (men inte vilken kurslitteratur lärarna skall använda). Jag vill också påpeka att min inställning till pedagogiskt utvecklingsarbete är att hela tiden göra små förbättringar och kontinuerligt utvärdera. Jag kan förstå att det är frustrerande för dig att det synes gå långsamt men det har hänt saker och jämfört med annan ingenjörsmatematik i Sverige vill jag påstå att vi har kommit längst mot en "simuleringsbaserad matematik", åtminstone på grundnivå. Jag kan inte heller gå in och detaljstyra innehåll i kurser, jag är ansvarig för 140 kurser. Däremot har jag tydliga ambitioner och riktlinjer för hela utbildningen och utvecklingen mot simuleringsbaserad matematik är prioriterat.

Jag försäkrar dig att ambitionen är att ständigt utvecklas och det gäller såklart inte bara matematiken. För att ge dig en vidare bild, utvecklingsarbete som står högt på agendan är verktyg för och träning i optimering av konstruktioner och produkter, CAE-verktyg tidigt i utbildning och framställning av modeller (fysikaliska och digitala) för att testa och utvärdera. Vi var bland de första utbildningar att använda 3D-skrivare och studenterna har i nuläget tillgång till två 3D-skrivare, nästa år kommer vi att minst 6 stycken. Simuleringsbaserad matematik är som du inser en grundpelare i allt detta som syftar till att utbilda ingenjörer som är väl förberedda för att utveckla bättre produkter och konstruktioner och mer effektivt än dagens ingenjörer.

Vänliga hälsningar

Mikael

Mitt svar till Mikael 29/11: 

Tack för svar Mikael:

Du tar upp en viktig punkt när Du säger att Du

"tycker att fokuseringen på kurslitteraturen är olycklig. Min erfarenhet är att studenterna läser litteraturen i allt mindre omfattning. De praktiserar modellen "trial and error" dvs att försöka lösa problemet först och om det behövs titta på föreläsningsanteckningarna, fråga en kompis eller en lärare, söka på nätet, titta på en föreläsning från MIT eller Khan academy etc och i sista hand titta i läroboken"

Att studenterna inte längre läser kurslitteraturen beror på att den inte upplevs som så meningsfull i dagens IT-värld, där informationen finns på nätet. Man kan ju säga att om ingen läser kursboken, och i många fall inte ens köper den eftersom den är dyr, så kan kursboken vara vilken som helst. Men läraren måste ju ha något att komma med i form av nätbaserad kurs som definierar kursens kärna och som leder ut till det vidare nätet.

Jag arbetar nu med att utforma en sådan web-version av BS under namnet Mathematical Simulation Technology.

Skulle inte Du kunna titta på detta, kanske tillsammans med några intresserade studenter? Tanken är inte att pracka detta på M, utan bara en trevare till en eventuell diskussion om hur kurslitteraturen idag och imorgon kan se ut, när nu den traditionella kursboken har förlorat sin mening och ingen längre läser den.

Vad säger Du om detta?

Vänliga hälsningar, Claes

PS Mikael skriver:

• Jag har som sagt förstått att de använder dina texter och idéer som inspiration och även det tycker jag är bra. Huruvida de refererar till dina texter korrekt och i tillräcklig omfattning har jag ingen åsikt om. Det får ni klara upp er sinsemellan.

Var går då gränsen mellan inspiration ock kopiering? Det är naturligtvis roligt om mina texter och ideer kommer till användning, i samarbete. När Stig avvisar varje form av samarbete är det inte lika roligt längre.

A History of BodyandSoul at Chalmers

Some of the history of the BodyandSoul mathematics education reform project at Chalmers 2000-2007 is documented in the following conference presentations by Stig Larsson, who participated in the project:

1. Stig Larsson,
   A reformed mathematics education at Chalmers,
   Högskoleverkets kvalitetskonferens, Norrköping, September 25-27, 2001.
   (abstract, amslatex, dvi, pdf)
2. K. Eriksson, N. Ericsson and S. Larsson,
   Integration of chemistry in math courses,
   Chalmers Strategic Effort on Learning and Teaching C-SELT,
   Conference at Lingatan, August 13-15, 2002.
   (amslatex, pdf)
3. C. Niklasson, M. Christie, S. Larsson, L. Öhrström, and J. Bowden,
   Integration of Mathematics/Numerical Analysis with Chemistry/Chemical Engineering,
   preprint 2003.
   (pdf)
4. L. Öhrström, G. Svensson, S. Larsson, M. Christie, and C. Niklasson,
   The pedagogical implications of using Matlab in integrated chemistry and mathematics courses,
   Int. J. Engrg. Education 21 (2005), no. 4, 683-691. (abstract, pdf)
5. M. Enelund and S. Larsson,
   Development of a new computational mathematics education for the mechanical engineering program at Chalmers University of Technology,
   Second International CDIO Conference, Linköping University, June 13-14, 2006.
   (pdf)
6. M. Enelund and S. Larsson,
   A computational mathematics education for students of mechanical engineering,
   World Transactions on Engineering and Technology Education 5 (2006), no. 2, 329-332.
   (word, pdf)
7. M. Enelund, H. Johansson och S. Larsson,
   Beräkningsinriktad matematikutbildning för maskinteknikprogrammet på Chalmers,
   Utvecklingskonferensen för ingenjörsutbildning 2008, KTH, Stockholm, 26-27 november 2008.
   (amslatex, pdf)
8. M. Enelund, S. Larsson, and J. Malmqvist,
   Integration of a computational mathematics education in the mechanical engineering curriculum,
   Proceedings of the 7th International CDIO Conference, Technical University of Denmark, Copenhagen, June 20 - 23, 2011.
   (pdf)

Here are some key quotations from 1. - 8. describing in particular the presence and absence of the BodyandSoul book:

1.(2001):

• A full program for a new reformed engineering mathematics education has been developed by K. Eriksson, C. Johnson, Chalmers University of Technology, and D. Estep, Colorado State University. The program includes the books Computational Differential Equations, Cambridge University Press 1996, and Applied Mathematics — Body and Soul, to appear at Springer-Verlag, and various pieces of supporting software. 
• The full program covering the basic mathematics courses of 25–30 credit points has been implemented at Chalmers since 1999 for a group of 90 students in the “Bio Engineering” (Kb) and “Chemical Engineering with Engineering Physics”  (Kf) programs and has been extended to include also the “Chemical Engineering” (K) program with a total of 160 students 2001. 
• The implementation of the reform program... is carried out in a cooperative effort of the mathematicians M. Asadzadeh, K. Eriksson, C. Johnson, S. Larsson, M. Larson, K. Samuelsson, and N. Svanstedt at Chalmers University of Technology. 

2.(2002):

• A basic idea of the reformed math program, delivered by the Department of Computational Mathematics at Chalmers, is a full integration of the “body” and “soul” aspects of mathematics, that is of the concrete/computational/numerical parts representing the “body”, including programming, and the abstract/analytical/symbolic aspects representing the “soul”.
• (Remark: No reference to the upcoming BodyandSoul book)

3.(2003):

• In this paper, we examine how changes in mathematics education with integration into engineering subjects influence the different teaching and learning methods for subsequent subjects in the chemical engineering programs at Chalmers. 
• Material for the first courses has been developed in a new textbook (BodyandSoul).

4.(2005):

• The last years the undergraduate chemistry and mathematics courses at Chalmers University of Technology has undergone a major curriculum reform.
• As textbook in mathematics we use a new book (BodyandSoul) written especially for this approach to teaching and learning mathematics at a technical university.

5. and 6.(2006):

• .... new mathematics courses for the engineering education have been developed at Chalmers and implemented in the Chemical Engineering and Bioengineering programs since 1999. These courses emphasize mathematical modeling, simulation, the use of modern computational tools, and interaction with courses in chemistry and chemical engineering. This is achieved by taking a computational (constructive) approach to the teaching of mathematics.
• This approach is based on the textbook Applied Mathematics BodyandSoul and has been implemented since 1999 in the Chemical Engineering and Bioengineering programs at Chalmers University [2]. However, the book (BodyandSoul) has proved to be somewhat too difficult for the students and we plan to use traditional textbooks complemented by lecture notes.

7.(2008):

• Här presenterar vi en reformerad matematik-utbildning. I den reformerade matematikutbildningen integreras traditionell symbolisk matematik med numeriska beräkningar och datorn används som ett verktyg. 
• Erfarenheterna är mycket positiva. 
• (Remark: No reference to BodyandSoul)

8.(2011):

• Here we present the integration of a computationally oriented mathematics education into the CDIO-based MSc program in mechanical engineering at Chalmers. We found that the CDIO-approach was beneficial when designing a reformed mathematics education and integrating the mathematics in the curriculum. 
• In the reform of the mathematics education, traditional symbolic mathematics is integrated with numerical calculations and the computer is used as a tool. 
• The experience is very positive. 
• (Remark: No reference to BodyandSoul)

We see that the BodyandSoul book was used 2000-2006 as the basic text defining a new reformed mathematics program, which is presented to the world at several national and international conferences.  We know that BodyandSoul was replaced 2007 by a traditional book (Calculus: A Complete Course by Adams and Essex) not connected to the reform, complemented by lecture notes in the form of Beräkningsmekanik, which is a translation into Swedish of a couple of introductory chapters of BodyandSoul with reference reduced to a source of "inspiration". 

We see that the experience of the reform is very positive and that the reason BodyandSoul was replaced by a traditional book with no connection to reform, is stated to be that BodyandSoul  "proved to be somewhat too difficult for the students".

PS1  For his reform work Stig Larsson has been awarded several prizes at Chalmers:

• Ansvarig matematiklärare, professor Stig Larsson, tilldelades Maskinteknikprogrammets pedagogiska pris för sina insatser för utvecklandet och genomförandet av matematikkurserna. Priset baseras på en omröstning bland studenterna. Stig erhöll även Chalmers pedagogiska pris 2008 för sitt arbete med att integrera matematikämnet i ingenjörsämnet”. Pristagarna utses av en jury. Studenternas sammanfattande betyg på matematikkurserna har för alla kurser legat över fyra på en femgradig skala och slutsatsen är att studenterna är mycket positiva till kurserna och genomförandet.

I have asked Stig Larsson if a "somewhat less difficult" version of BodyandSoul according to specification by Chalmers might be of interest as a possible replacement of the traditional text book by Adams, which has little connection to reform, which I could deliver free of charge and save the students  some couple of hundred dollars. I will report the reaction from Stig when (if) it arrives.

PS2 Mikael Enelund is main responsible for the Engineering Mechanics program at Chalmers "buying" the math reform program from the Math Department and Stig Larsson. Enelund says that he relies 100% on the judgement of the Math Department selling/delivering the courses of the reform program, and then voices the widely spread conviction among non-professional mathematicians, that mathematics can only be understood by professional mathematicians, as an effect of traditional mathematics education. Enelund is thus in principle main responsible as buyer, but has translated the responsibility entirely to the math department as seller.

It is thus impossible for Enelund to ask himself how it is possible to use a fully traditional text book like Adams as basic text in a reform program with a fundamentally non-traditional scope and approach? If Enelund had only taken the reform program he would have understood that mathematics can be understood also by non-professional mathematicians and then he would have had the courage to ask the question.  But....

PS3 But why bother? Are we not discussing trivialities? Who cares about basic math eduction, really? Not professors of mathematics anyway, since they consider teaching Calculus to be a triviality better left to underpaid instructors ordered to use some traditional American text book, year after year delivering a steady income to the professors.

But basic math education at a technical university like Chalmers sets the standard for the whole education, and if the math education is antiquated so will the entire engineering education be. So math education is important but the debate is dead and the progress is zero. Or backwards, as when BodyandSoul was replaced by Adams at Chalmers in 2007.   

Constructive and Symbolic Calculus

The basic idea of BodyandSoul is to support a mathematical symbol like $\sqrt{2}$ and $e=\exp(1)$ by a constructive numerical algorithm through which the decimal expansion of $\sqrt{2}=1.421356237...$ and $e=2.718281828...$ can be computed to arbitrary precision.

The symbol $\sqrt{2}$ thus is assigned to the positive root of the algebraic equation $x^2=2$ computable by e.g. Newton's method and $\exp(t)$ for $t > 0$ is assigned to the function $u(t)$ which by time stepping solves the differential equation $Du(t) = u(t)$ for $t > 0$ such that $u(0)=1$, where

• $Du(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{u(t+\Delta t)-u(t)}{\Delta t}$,

is the derivative of $u(t)$ defined as a limit in infinite precision. 

The symbols can sometimes be used in symbolic computation as symbol manipulation according to given rules, without using the actual numerical values, only the defining algebraic/differential equations.

For example, one can compute $\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\times 2 = 4$ knowing that $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ without knowing that $\sqrt{2}\approx 1.414$. 

More importantly, one can compute derivatives symbolically by using defining differential equations and the chain rule, for example:

• $D\exp(2t)= \exp(2t)\times 2$ 

using that $Dexp(s) = exp(s)$ and $D2t = 2$ with $s=2t$. Doing so we circumvent the ill-posed unstable aspect of numerical computation of derivatives. This is done in symbolic computation software as Maple.

However, there is no corresponding general symbolic method for solving differential equations as different forms of integration, which thus in general is performed by constructive numerical methods. This works because integration is a well-posed stable process which can be performed in finite precision.  

Constructive Calculus in Finite Precision

The Constructive Calculus of BodyandSoul essentially consists of constructing solutions to algebraic and differential equations by computational numerical methods and thus must take into account the finite precision representation as single, double or multiple precision used by computers when performing computations with real numbers using round-off.

The basic concepts of (Lipschitz) continuity and differentiability are introduced in BodyandSoul without reference to the difficult concept of limit and therefore naturally generalize to include finite precision, while the heavy use of limits in Standard Calculus does not.

It is thus natural to define a real-valued function $f(t)$ of a real variable $t$ to be Lipschitz continuous with Lipschitz constant $L$ in finite precision $\epsilon > 0$, if for all $t$ and $\Delta t$

• $\vert f(t+\Delta t) - f(t)\vert\le L(\vert\Delta t\vert + \epsilon)$.  

We see that here $\Delta t$ will effectively be bounded below by $\epsilon$.

Further, it is natural to define a real-valued function $t\rightarrow f(t)$ of a real variable $t$ to be differentiable with derivative $Df(t)$ in finite precision $\epsilon$, if there is a constant $K$ such that for all $t$ and $\Delta t$

• $\vert f(t+\Delta t) - f(t) - Df(t)\Delta t\vert\le K(\vert\Delta t\vert^2 + \epsilon )$. 

In this case $\Delta t$ will effectively be bounded below by $\sqrt{\epsilon}$.

We compare with the limit definition of continuity:

•  f(t) = $\lim_{\vert\Delta t\vert\rightarrow 0}f(t+\Delta t)$,

which requires infinite precision to make sense.

Even more importantly, we compare with the limit definition of the derivative:

•  Df(t) = $\lim_{\vert\Delta t\vert\rightarrow 0}\frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t}$,

with division by the infinitely small (but non-zero) quantity $\Delta t$, which requires infinite precision and even so is difficult to grasp, in particular for the student.

The limit definitions can be (and are) used in Symbolic Calculus with derivatives determined by symbolic and not numerical computation, but present severe difficulties in Constructive Calculus in finite precision. The definitions without limits of Constructive Calculus can also be used in Symbolic Calculus by setting $\epsilon =0$, and thus are more versatile.

The essence of Constructive Calculus is to compute solutions to differential equations involving derivatives, thus essentially to compute integrals numerically in finite precision by time stepping as a well-posed numerically stable process, while derivatives may be computed symbolically on restricted classes of functions such as the piecewise polynomials of finite element methods thus circumventing the ill-posedness of numerical differentiation.  

What is $\pi$ and $e$?

There are two numbers with a special stature in mathematics:

• $\pi$ usually defined geometrically as the ratio of a circle's circumference to its diameter,
• $e=\exp(1)$ is the base of the natural logarithm, 

where $\exp(t)$ is the exponential function usually defined by 

• $\exp(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{t}{n})^n.$     (*)

The geometric definition of $\pi$ does not give direct information about its numerical value and the definition of $e$ may appear to be ad hoc without connection to either geometry or physics.

In BodyandSoul as Constructive Calculus both $\pi$ and $e$ are constructively defined through solutions of basic initial value problems solved by time stepping. More precisely, $\pi$ is defined as the smallest positive root of the equation $\sin(t)=0$, where $u(t)=\sin(t)$ and $v(t)=cos(t)$ is the solution to the initial value problem modeling a harmonic oscillator: 

• $\frac{du}{dt} -  v =0$ and $\frac{dv}{dt} + u=0$ for $t > 0$, $u(0)=0$ and $v(0)=1$.  (**) 

Further $u(t)=\exp(t)$ is the solution to the basic initial value problem (expressing "exponential growth" with the growth rate $\frac{du}{dt}$ equal to $u$ itself):

• $\frac{du}{dt}=u$ for $t > 0$ and $u(0)=1$.   (***)

In particular, 

• $(1+\frac{t}{n})^n$ 

is the result of solving (***) by time stepping with time step $\frac{t}{n}$ with

• $u(t+\frac{t}{n})=u(t)+\frac{t}{n}u(t) = (1+\frac{t}{n})u(t)$, 

which converges to $\exp(t)$ as the time step $\frac{t}{n}$ goes to zero with $n$ tending to infinity.

Introducing and defining the numbers $\pi$ and $e$ this way, gives both an understanding why they are so fundamental (by expressing basic properties of solutions to basic mathematical equations connecting to basic physics) and also shows how the (decimal expansions of the) numbers can effectively be computed.

PS1 Notice that once $\sin(t)$ and $\cos(t)$ have been defined as solutions of (**), it follows that $(\cos(t),\sin(t))$ can be geometrically interpreted as the coordinates of a point moving along a unit circle with unit speed and thus $t$ a measure of angle as arc length. The geometric interpretation of $\pi$ thus follows from numerical algebra and not the other way around as in Standard Calculus.

PS2 In Standard Calculus $\sin(t)$ and $\cos(t)$ are defined geometrically as quotients of the lengths of the sides of right-angled triangles again without access to the numerical values except for a few special values of the angle $t$.

BodyandSoul vs Standard Calculus 2

Einstein presenting his equation of general relativity $R_{ik}=0$ supposedly(?) describing the world. Simple and general. 

A Standard Calculus text book, like Calculus: A Complete Course by Adams and Essex, is filled with symbolic formulas covering more than 1000 small print pages and is difficult for the student to digest and heavy to carry along.

The objective of a Standard Calculus text book appears to be to convince the student of the usefulness of Calculus through mass demonstration by presenting so many specific problems, which can be solved with pen and paper using Symbolic Calculus, that there can be only a few left which cannot be solved this way. In short, the objective is to show that Symbolic Calculus works by presenting very many specific examples. But the massiveness is misleading since in fact very few problems can be solved symbolically with pen and paper.

The essence of the BodyandSoul approach as Constructive Calculus is the opposite: Instead of many specific problems solved by symbolic mathematics with pen and paper, one general problem containing all the specific problems of Standard Calculus and many more, is considered. The essence of the theory is then to show how and why any given instance of the general problem can be solved by the computer, as expressed in a Fundamental Theorem of Calculus.

The one general problem of Constructive Calculus, in one variable to start with, is the Initial Value Problem (IVP): Construct a function $u(t)$ of time $t$ such that

• $\frac{du}{dt} = f$ for $t > 0$ with $u(0)=u_0$,         (*) 

where $f=f(u,t)$ is a given function of $u$ and $t$ and $u_0$ a given initial value, by successive time stepping according to

• $u(t+\Delta t)$ = $u(t) + f(u(t),t)\Delta t$ with $u(0)=u_0$, 

with $\Delta t >0$ small. This is formally a finite time step version of $du = fdt$ or $\frac{du}{dt}=f$ with vanishingly small time step $dt$, and $du \approx u(t+\Delta t) - u(t) =f\Delta t\approx fdt$.

If $f$ depends only on $t$, the solution $u(t)$ is the integral

• $\int_0^t f(s)\, ds + x_0$.

If $f=u$ and $u_0=1$, the solution is $u(t)=\exp(t)$. 

More generally, with simple dependencies of $u$ and $t$ all elementary functions (exponential, trigonometric, Bessel, ...) are constructed this way and their properties follow from the specifics of the IPV they solve.Calculus in one variable can thus be reduced to a study of the IVP (*). 

Similarly, Calculus in several variables can essentially be reduced to an IVP of a generalization of (*) with $u=u(t,x)$ and $x$ a multi-dimensional space coordinate and $f$ depending on partial derivatives of $u$ with respect to space coordinates, which is solved by time stepping after finite element discretization in space. 

Constructive Calculus can thus be summarized as $\frac{du}{dt} = f$ solved by time stepping $du=fdt$. Constructive Calculus combines simplicity with generality, which is a prime goal of (computer) science and mathematics, to be compared with the difficulty of all the specific cases of Symbolic Calculus.

PS We may summarize as follows:

• Constructive Caculus is simple and general.
• Symbolic Calculus is difficult and special.

                                     Mass demonstration for (or against?) Symbolic Calculus

10 Reasons Why Standard Calculus is Wrong Today

In recent posts I have argued that Calculus in its standard symbolic mathematics form,  in the computer era of our time should be given a new form as constructive mathematics, where symbols are supported by numerical algorithms. Let me here list 10 reasons why the standard text Calculus: A Complete Course by Adams and Essex, is no good today:

1. Real numbers are introduced with geometric reference as points on a number line.
2. Completeness of the set of real numbers is identified as a geometric property of the number line to "have no holes", which as a pretentious triviality can only be mystifying to the student.   
3. The derivative is introduced through a limit process with division by infinitely small quantities, which is numerically ill-posed.
4. The integral is introduced with geometric reference to area defined by equality of sup of lower sums and inf of upper sums, which can only be mystifying to the student. The Fundamental Theorem is expressed as differentiation of area, which misses the esssence of the Fundamental Theorem with the integral arising as the solution to a basic initial value problem.
5. The exponential function is introduced as the inverse of the logarithm with the basic differential equation satisfied by the exponential arising as a strange mystifying surprise at the end.
6. Trigonometric functions are defined geometrically and not constructively as solutions to certain basic initial value problems computable by time stepping. This is wrong from mathematical point of view.
7. The central Fixed Point Theorem is not proved in the text, but left as an exercise for students to skip.
8. The proof of existence of solutions to the basic initial value problem is not given, just vaguely hinted at.
9. The presentation of calculus of several variables uses an awkward notation, and is severely limited with very little about the basic field of partial differential equations. Implicit function theorem not proved. Inverse function theorem not even stated.
10. The scope of Calculus today as constructive mathematics designed by human minds performed by computers, is missing.      

BodyandSoul contains corrections of these errors of Standard Calculus, and much more...

PS1 The mission of Calculus: A Complete Course is stated in its Preface to be:

• Of course it is not true that computers can contain all of mathematics; so one challenge (of a new edition) is to ensure that no one imagines that they can.

PS2 The authors of Calculus: A Complete Course want to impress the reader by using a "mathematical style" with DEFINITION, THEOREM, PROOF and EXAMPLE displayed in very big letters, but then in reality offer little, since proofs of important results are generally omitted and the proofs actually offered are mostly pretentious trivialities. BodyandSoul (BS) was written in order to replace the emptiness of a standard calculus text. Seeing BS by teachers at Chalmers with experience of BS, being replaced by Calculus: A Complete Course, makes me sad or angry, or both.

BodyandSoul vs Standard Calculus 1

                                                  Symbols as signs on a blackboard.

The basic principle of the BodyandSoul mathematics education reform program is unification of symbolic and computational mathematic where symbols are given meaning by computational algorithms. The symbol (or sign) $\sqrt{2}$ thus is assigned to the real number with decimal expansion generated by Newton's method for computing a (positive) root of the equation $x^2 = 2$. Further, the symbol 

• $\int_0^t v(s)\, ds$,   

denotes the function $x(t)$ for $t > 0$ satisfying $Dx(t)=v(t)$ for $t > 0$ and $x(0)=0$, where $Dx=\frac{dx}{dt}$ is the derivative of $x(t)$ with respect to $t$, which is constructed by time stepping according to $dx = vdt$. 

Each symbol as a form of soul, thus is carried by a body in the form of a constructive algorithm defining the meaning or numerical value of the symbol.

On the other hand, in a standard presentation of Calculus, symbols are not defined by constructive processes. For example, the symbol $\sqrt{2}$ denotes an object (some form of number) with the property that $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$, without however carrying any information about its numerical value. Neither does the symbol $\int_0^t v(s)\, ds$ itself carry information about its value.

Standard Calculus mainly consists of symbolic mathematics as symbol manipulation according to given rules, which is what makes Calculus books so thick, while constructive mathematics and numerical algorithms are used only in (the "few exceptional") cases when symbolics fails.

Unification of soul and body can be seen as an expression science, in contrast to religion separating holy soul (symbol) from sinful body (numerical value).

Discussing these aspects with a Standard Calculus teacher is as easy as discussing realities of immaculate conception with a catholic priest. An example is given by the fruitless discussion with teachers at Chalmers claiming to be "inspired by BodyandSoul" while delivering Standard Calculus, as if the central message of BodyandSoul was missed.

Svar från Mikael Enelund Programansvarig Matematik - Maskinteknik

Här är svar från Mikael Enelund programansvarig för den nya utbildningen i Beräkningsorienterad Matematik för Maskintekniker vid Chalmers, på min fråga om han har några kommentarer till de senaste posterna på min blogg:

Hej Claes.

Som ansvarig för maskinteknikprogrammet litar jag helt och hållet på att Stig och Anders mfl utvecklar och genomför en genomtänkt och anpassad matematikutbildning för maskinteknikstudenterna. Kurserna fungerar bra, de får fina omdömen av studenterna, andelen studenter som klarar kurserna är bra (i jämförelse med övriga kurser i programmet) och kunskaperna verkar vara tillräckliga för kurser i programmet som tillämpar matematik. Lärare på masternivå och industrin har också påpekat att studenterna har blivit mycket bättre på att använda beräkningsmatematik (såväl industriella programvaror som egenutvecklade program) för att lösa öppna, komplexa och ofta olinjära problem.

Det sker också en ständig kursutveckling och anpassning till programmets behov. Speciellt trevligt för mig som också är lärare i hållfasthetslära är att grunderna till finita-elementmetoden undervisas i grundkursen Matematisk analys i flera variabler, detta är faktiskt unikt för Chalmers maskinteknik. Så vitt jag förstår är matematikkurserna i varierande omfattning inspirerade av BodyandSoul och dina tidigare gärningar på Chalmers. Utan ditt pionjärarbete skulle det vara mycket mindre beräkningsmatematik i både matematiken och de mer tillämpade kurserna.

Som sagt, när det gäller val av läromedel och pedagogik så lämnar jag det åt kursernas lärare.

Vänliga hälsningar

Mikael

Mitt svar var följande:

Tack för svar Mikael.

Som programansvarig tycker jag Du borde tänka själv och inte bara blint lita på leverantörer. Du skulle kunna få ett mycket bättre program för M om Du bara efterfrågade detta. Det första vore att begära att den särdeles traditionella amerikanska kurslitteraturen ersattes av något som passar vår IT värld av idag och imorgon. Varför inte pröva att ställa detta krav?

Vänliga hälsningar

Claes

More on the Fundamental Theorem of Calculus: Standard vs BodyandSoul

In recent posts we have compared the Standard Calculus approach with the BodyandSoul approach to the Fundamental Theorem as expressed in the corresponding proofs of the theorem, which concerns the relation between primitive function/integral $x(t)$, derivative $Dx = \frac{dx}{dt}$ and integrand $v(t)$ connected by the equations:

1. $Dx(t) = v(t)$
2. $x(t)=\int_0^t v(s)\, ds$.

We have noticed that in Standard Calculus as presented in e.g. the standard text book Calculus: A Complete Course by Adams and Essex, the integral $x(t)$ as an area under the graph $t\rightarrow v(t)$ is the primary given object (possibly somehow constructed as a limit of piecewise rectangular approximating areas), and the proof of the Fundamental Theorem consists of showing that $x(t)$ satisfies the differential equation $Dx = v$. 

In the BodyandSoul approach the primary given object is the differential equation $Dx=v$ with $v$ given data and $x$ unknown solution to determine, and the proof of the Fundamental theorem consists of showing that this equation can be solved by constructing approximate solutions by time-stepping

according to 

• $x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t$ with $\Delta t$ a time step tending to zero. 

In this approach $x(t)$ satisfies the differential equation $Dx(t)=v(t)$ by construction, because 

• $Dx(t)\approx \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t}=v(t)$.

In the Standard approach the construction is hidden and the proof thus consists in verifying that the integral $x(t)$ satisfies the equation $Dx(t)=v(t)$. Now, this is cumbersome because computation of a derivative in principle is an ill-posed unstable process, which has to be regularized to be computationally meaningful in finite precision with the presence of perturbations of $x(t)$. In the Standard approach this is circumvented by performing symbolic exact differentiation. 

For example, it is verified by symbolic differentiation in infinite precision that e.g. $D t^3 = 3t^2$, which allows computation of the area under the function $3t^2$ from $t=0$ to $t=1$, as a form of magic seemingly without summation:

• $\int_0^13t^2 = 1^3 - 0^3 = 1$.   

The full picture is hidden to the student of Standard Calculus, presenting primarily the non-constructive magic of exact symbolic differentiation and less the constructive non-magic of time-stepping. BodyandSoul presents both aspects and opens to a deeper and more useful constructive understanding.

PS1 To define as in Standard Calculus the integral as an area follows the same non-constructive geometric approach as defining trigonometric functions through the lengths of the sides of rectilinear triangles (used in e.g. Adams). In BodyandSoul the integral and elementary functions such as trigonometric functions are constructed as solutions to elementary differential equations. Properties of elementary functions then come out as consequences of defining elementary differential equations and not from possibly far-fetched geometry.

The step from the (difficult) symbolic geometry of Euclide to the (easy) constructive analytic geometry of Descartes, marked the beginning of the scientific and industrial revolution and was thus not a small step for humanity. A modern Calculus course should reflect this step.

PS2 In BodyandSoul the trigonometric functions $x(t)=\sin(t)$ and $y(t)=\cos(t)$ are defined as solutions of the system describing a harmonic oscillator:

• $Dx(t) = y(t)  and Dy(t) = - x(t)$ for $t > 0$ with initial values $x(0)=0$ and $y(0)=1$,

and solutions are computed by time-stepping. 

The familiar relations $D\sin(t) = \cos(t)$ and $D\cos(t)= - \sin(t)$, thus result from the constructive time-stepping of the system where these relations are encoded. This is readily understood by the general student.

In Standard Calculus, $\sin(t)$ and $\cos(t)$ are defined geometrically and the relations $D\sin(t) = \cos(t)$ and $D\cos(t)= - \sin(t)$ have to be discovered and proved by tricky trigonometry, which the teacher may love, but the general student finds difficult.

Again, presenting this argument to a Standard Calculus teacher will lead nowhere.

Beräkningsinriktad Matematikutbildning för Maskinteknikprogrammet på Chalmers vs BodyandSoul

Efter att ha först ha deltagit i BodyandSoul (BS) programmet 2000 - 2005  för kemistudenter och sedan lagt ner detsamma 2006 i samband med att jag flyttade till KTH, flyttade Stig Larsson över sina reformerfarenheter till maskinteknik och lanserade där en ny Beräkningsinriktad Matematikutbildning presenterad i en artikel författad tillsammans med programansvarige Mikael Enelund vid Utvecklingskonferensen KTH 2008 med informationen (som forfarande är aktuell):

• Kurslitteraturen är två traditionella läroböcker, kompletterade med ett kompendium i  Beräkningsmatematik.  

Den nya Beräkningsinriktade Matematikutbildningen beskrivs i artikeln precis som om den vore BS, dock utan minsta referens till BS. Kompendiet är kopia av några inledande kapitel i BS och innehåller en referens till BS som "inspiration" och artikeln avslutas med

• Ansvarig matematiklärare, professor Stig Larsson, tilldelades Maskinteknikprogrammets pedagogiska pris för sina insatser för utvecklandet och genomförandet av matematikkurserna. Priset baseras på en omrröstning bland studenterna. Stig erhöll även Chalmers pedagogiska pris 2008 för sitt arbete med att integrera matematikämnet i ingenjörsämnet”. Pristagarna utses av en jury. Studenternas sammanfattande betyg på matematikkurserna har för alla kurser legat över fyra på en femgradig skala och slutsatsen är att studenterna är mycket positiva till kurserna och genomförandet.

Idag 5 år senare ser allt ser likadant ut och reformaktiviteten verkar ha avstannat: samma "traditionella läroböcker" (Adams och Lay) och samma lilla kompendium i Beräkningmatematik, samma programansvarig, samma revolutionerande reformmatematik värdig pedagogiska priser, men naturligtvis fortfarande utan synbar närvaro av BS. Verkligheten ter sig ibland konstig, men allt torde ha en rationell förklaring som så småningom kan uppenbaras.

PS1 För den fortsatta lanseringen av maskinteknikprogrammet, som beskrivs som Sveriges bästa och prisats av Teknikföretagen som Årets Teknikutbildning Högskola 2012, se:

• Integration of Computational Mathematics Education in the Mechnical Engineering  Curriculum at Chalmers. (2011) Samma på svenska (2011)
• MSC Programme in Mechanical Engineering (2013)

Webbaserad läobok/undervisningsmaterial i matematik listas som önskvärd framtida utveckling. När jag meddelar Enelund och Larsson att sådan finns i form av webversionen MST av BS, möts jag av kalla handen. Planen verkar vara att expandera kompendiet i Beräkningsmekanik att fylla detta syfte, möjligtvis med BS/MST som "inspiration" enligt tidigare mall, men att denna utveckling får anstå eftersom "orken inte räcker".

Larsson säger att den traditionella läroboken av Adams avses avvecklas "på sikt" men att BS/MST inte kommer att användas som ersättning, eftersom "BS/MST inte går att använda som kurslitteratur" (även om det gick bra under 6 år med BS för kemistudenter), utan bara som "inspiration", för läraren och kursboksförfattaren, men inte för studenten eller priskommitten.

PS2 När Larsson 2006 presenterade sin plan för den nya Beräkningsorienterad Matematikutbildningen utformad helt enligt BS inför CDIO, fanns en vag antydan av BS i texten i följande ordalag:

• The Mechanical Engineering program at Chalmers University of Technology has taken part in the development of the CDIO model of engineering education since 2000. 
• At the same time, new mathematics courses for the engineering education have been developed at Chalmers and implemented in the Chemical Engineering and Bioengineering programs since 1999. These courses emphasize mathematical modeling, simulation, the use of modern computational tools, and interaction with courses in chemistry and chemical engineering. This is achieved by taking a computational (constructive) approach to the teaching of mathematics. 

Vid nästa presentation 2008 efter det att det nya epokgörande programmet startat på maskinteknik, var BS fullständigt utrensat, som om det aldrig funnits, som om det inte var väl dokumenterat i form av 3 böcker hos Springer och omfattande websida med extramaterial, som om Larsson aldrig hade undervisat enligt BS i 6 år.

PS3 Se följande legendariska foto av BodyandSoul-teamet som drev matteutbildningen på kemiteknik 2000-2006. Kan personerna identifieras?

 

anderslogg‏@anderslogg

Klassiskt foto runt sekelskiftet från Prof. Leibschnitzels (3 fr v) gästföreläsning om Lipschitz-kontinuitet. #tmv225 pic.twitter.com/l1tZGaRWd5

•  Reply 
•  Retweet 
•  Favorite 

PS4 Jag leddes till denna undersökning av sakernas tillstånd (som jag var lyckligen ovetande om) då Anders Logg, efter att ha avslutat den inledande första kursen ht 2013 i reformprogrammet för Beräkningsorienterad Matematikutbildning vid Maskinteknik Chalmers, frågade mig om det fanns någon som ville ta över websidan för BodyandSoul, som Anders haft hand om sedan 2000, eftersom Anders inte längre såg att websidan fyllde någon funktion för utbildningen på Chalmers och eftersom Anders nu tillträtt sin professur på Chalmers.

PS5 Jag har bett Mikael Enelund, programansvarig för maskinteknik, om kommentar, men det verkar inte som Mikael vill kommentera. Att tiga verkar vara guld för ansvariga vid högskolan, men håller det i längden?

PS6 Anders har på mitt förslag lagt upp en länk till MST samt några relevanta kapitel ur BS på hemsidan för den inledande kurs som Anders givit, detta efter det kursen avslutats och eftersom Anders ansett det vara korrekt. Mitt förslag till Stig att göra detsamma för andra kurser i programmet har inte tillmötesgåtts, förmodligen följdriktigt.

PS7 Den intresserade kan jämföra utdraget ur BS enligt ovan med Stig Larssons kompendium Beräkningsmatematik och kanske då förstå varför "BS inte passar som kursbok" medan den svenska översättningen av Stig passar jättebra, eller inte förstå det. Kan problemet vara att BS är på engelska?

Under tiden 2007 - 2013 är det bara detta kompendium i Beräkningsmatematik på 49 sidor som "nyskrivits" av Stig som översättning till svenska av några kapitel ur BS. Att översätta hela BS på 2048 sidor  i samma takt skulle ta 7 x 41 = 287 år! Men många priser och utmärkelser skulle det bli.

PS8 Det sorgliga i sammanhanget är inte att BS kopierats utan korrekt referens, det sker hela tiden i den akademiska världen, och det får man ju se som ett tecken på att BS är tillräckligt intressant för att attrahera kopiering,  utan att så lite av BS har kopierats under falska förespeglingar av att leverera detsamma som BS. Det är ju därför priserna har inhöstats, inte för att en traditionell amerikansk standard Calculusbok som Adams har använts. 

Standard Calculus as Ill-Posed Unstable Backward Magic

        Jacques Hadamard (1865-1963) was a gentle man with strong opinions on mathematics.

Previous posts on the Fundamental Theorem of Calculus have exposed two approaches to the connection between primitive function/integral $x(t)$, derivative $Dx = \frac{dx}{dt}$ and integrand $v(t)$ connected by the equations:

1. $Dx(t) = v(t)$
2. $x(t)=\int_0^t v(s)\, ds$.

In the standard approach as presented in e.g. the standard text book Calculus: A Complete Course by Adams and Essex, the integral $x(t)$ as an area under the graph $t\rightarrow v(t)$ is the primary given object and the proof of the Fundamental Theorem consists of showing that $x(t)$ satisfies the differential equation $Dx = v$. 

In the BodyandSoul approach the primary given object is the differential equation $Dx=v$ with $v$ given data and $x$ unknown to determine, and the proof of the Fundamental theorem consists of showing that this equation can be solved by time stepping producing the integral $x(t)$ as the solution. The process from input data $v(t)$ to output solution $x(t)$ by solving $Dx=v$ by time stepping, is well-posed or stable in the sense that small perturbations of data or solution process results in small perturbations of the solution $x(t)$.  

The mathematician Hadamard identified well-posedness and stability to be a necessary requirement in order for a mathematical problem to be meaningful, in the sense that a meaningful solution can be found. The process of integration from integrand $v(t)$ to integral $x(t)$ is well-posed and meaningful.

On the other hand, the process from integral/primitive function $x(t)$ to derivative $Dx(t)$, is ill-posed and unstable, in the sense that small perturbations in $x(t)$ may give rise to large perturbations in the derivative, because

• $Dx(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$

and a small perturbation in $x(t+\Delta t)$ or $x(t)$ gets divided by the quantity $\Delta t$ tending to zero and thus gets amplified by the large factor $1/\Delta t$. The standard approach to the Fundamental Theorem puts the emphasis on the ill-posed or unstable process of differentiation. 

We sum up as follows: 

1. The standard approach to the Fundamental Theorem is ill-posed, unstable and of questionable meaning. As illposed problem it rests on symbolic mathematics of infinite precision, which appears as magics.
2. The approach in BodyandSoul is well-posed, stable and clearly meaningful. As well-posed problem it can be solved by numerical mathematics in finite precision, which is reasonable and not magics.

These aspects would be possible to discuss constructively with the man on the street, but may be very difficult to present to a teacher of standard Calculus for which Adams' book is the bible.