Making of the Prandtl Myth by John D Anderson

We cite from the book Fundamentals of Aerodynamics by John D Anderson addressed in a previous post, concerning Ludwig Prandtl, the father of modern aerodynamics:

• The first practical theory for predicting the aerodynamic properties of a finite wing was developed by Ludwig Prandtl and his colleagues at Gottingen, Germany, during the period 1911-1918, spanning World War I. The utility of Prandtl's theory is so great that it is still in use today for preliminary calculations of finite-wing characteristics.
• The modern science of aerodynamics rests on a strong fundamental foundation, a large percentage of which was established in one place by one man-at the University of Gottingen by Ludwig Prandtl. Prandtl never received a Noble Prize, although his contributions to aerodynamics and fluid mechanics are felt by many to be of that caliber.
• By the 1930s, Prandtl was recognized worldwide as the "elder statesman" of fluid dynamics. Although he continued to do research in various areas, including structural mechanics and meteorology, his "Nobel Prize-level" contributions to fluid dynamics had all been made. 
• Prandtl remained at Gottingen throughout the turmoil of World War II, engrossed in his work and seemingly insulated from the intense political and physical disruptions brought about by Nazi Germany. 
• In fact, the German Air Ministry provided Prandtl's laboratory with new equipment and financial support. 
• Prandtl was considered a tedious lecturer because he could hardly make a statement without qualifying it. However, he attracted excellent students... 
• Prandtl died in 1953. He was clearly the father of modern aerodynamics-a monumental figure in fluid dynamics. His impact will be felt for centuries to come.

Anderson captures the essential quality of Prandtl's theory as a practical method for preliminary calculation of wing characteristics (lift),  and not a physical theory describing the true aerodynamics of the generation of lift of a wing. Anderson further emphasizes the strong connection between Prandtl's work and German war efforts, and thus gives the reason why Prandtl was not near to get a Nobel Prize.

Svar från Ulf Persson 2

Nedan följer svar från Ulf Persson på min fråga i Matematikes Existentiella Ångest 2. Jag delar Ulfs syn på betydelsen av programmering av matematiska metoder från grunden inom matematikutbildning. Detta är det ena benet av BodyandSoul (Puffin inom FEniCS), det andra bestående av kraftfulla datorprogram byggda på matematiska principer för simulering av komplexa fenomen (Dolphin/Applications inom FEniCS).

Men Ulf svarar inte på min fråga om den existentiella ångestens orsak. Kanske det inte är så lätt att analysera, med matematisk metodik.

                                              

Låt mig kortfattat kommentera din uppföljande fråga. Jag vill minnas att du vid något tillfälle skrev att det finns ingenting så praktiskt som en god teori. (Detta med någon specifik hänvisning till Leibniz). Jag hävdar att på ett naturligt och givande sätt kunna uppskatta den moderna kraftfulla datortekniken måste man ha en viss matematisk bildning. 

Problemet är att den nya tekniken är för kraftfull, man får för mycket gratis, och jag ser detta som ett grundläggande pedagogiskt problem. Att bara trycka på en knapp och få fram en lista på alla primtal till en miljon. So what? Helt annat blir situationen om man som liten först har gjort Erathostenes såll för hand för talen upp till säg hundra (en gång en kväll i slutet av 70-talet sållade jag fram primtalen mellan 10'000 och 11'000 och använde olikfärgade pennor, bara för att 'äga' dessa tal mer personligt) sedan programmerar sållet i Basic eller C eller något liknande program där man tvingas att implementera själva sållningsförfarandet. 

Därefter om man vill göra någon större undersökning kan man använda ett programpaket, eller utnyttja sitt eget skrivna program man har ju redan gjort jobbet. Vitsen med att programmera är ju att man då förvissar sig om att man 'är med' hela tiden, något som inte är fallet när man använder ett programpaket.

Paradoxical Circulation Theory of Lift

The New Theory of Flight presented on The Secret of Flight shows that the classical circulation theory of lift by Kutta-Zhukovsky is unphysical and thus incorrect, which is also supported by the fact that it builds on a paradox:

• Kutta-Zhukovsky lifting flow around a 2d airfoil is obtained by augmenting non-lifting potential flow by large scale circulation around the airfoil.
• The sharp trailing edge of an airfoil is supposed to be necessary for generation of lift.  
• The lift is proportional to the circulation, and the circulation is determined so as eliminate the singularity of potential flow arising from the sharp trailing edge.
• Lift is thus paradoxically obtained by elimination of what has been introduced, that is by eliminating the singularity introduced by the sharp trailing edge. This is like obtaining an effect by first introducing something and then removing it, as if (+ 1 - 1) could be greeter than zero. 
• The paradox is supposedly resolved by claiming that the singularity is eliminated by effects of viscosity. 

The New Theory shows that lift is generated, not by a sharp trailing edge, but by wings with smoothly rounded trailing edges with diameter up to 10% of the chord length.

Matematikers Existentiella Ångest 2

Svar till Ulf Persson:

Du säger att Din upplevda ångest inte beror på skolmatematiken, utan "människors allmänna överflödighet", vilket inte låter så trovärdigt. Kanske Din ångest snarare speglar en upplevelse av den traditionella universitetsmatematikerns "allmänna överflödighet" i ett IT-samhälle där traditionell analytisk matematik ersätts av beräkningmatematik, och matematikundervisningen måste förändras.

Ditt intresse för programmering antyder att Du själv är på väg mot en sådan förändring.

Kan det vara så?

Svar från Ulf Persson

Här följer reaktion från Ulf Persson på min post Matematikers Existentiella Ångest:

Först och främst den ångest jag refererar till har ingenting med skolmatematiken att göra, utan rör den allmännare frågan om människors allmänna överflödighet. Kan det vara så att de flesta människor kommer ur ekonomisk synpunkt bara vara intressanta som konsumenter inte såsom producenter. Att tänka i sådana banor kan vara förskräckande. Så låt oss en gång för alla lämna ångesten, den hör inte hemma i den pågående diskussionen (såvida man inte drar ut yttersta konsekvenser.)

Din inställning till matematiken är klarare än den som kännetecknar Sverkers. Sverker tycks hysa ett slags agg mot matematiken, visserligen förnekar han knappast att den kan vara användbar, men att den kan begränsas till en liten grupp tekniker och att den inte har någon bredare kulturell uppgift. Jag tror knappast att du känner ett agg mot matematiken, och att du till skillnad från många professionella matematiker har en vision med vad du vill med matematiken. Detta respekterar jag dig för även om jag tycker att din vision inte sammanfaller med min egen, och man kan ju inte heller förvänta sig detta. Vad jag däremot vänder mig emot är att du tycks vilja pracka på denna vision på andra och att du inte tycks ha någon förståelse att man kan ha andra visioner. Men sådant hör till och det förlåter jag dig gärna. Allt detta har jag en gång i tiden framfört i Utskicket.

Jag vet inte heller vad för slags IT vision Sverker har, din egen däremot har du utförligt presenterat i ett antal böcker. Att IT-revolutionen bygger på matematik kan ingen förneka, däremot som jag ovan förklarat, jag tycker inte att matematiken skall enbart ses ur det perspektivet. Som alla teknologiska uppfinningar är den på gott och ont, men låt oss inte fördjupa oss i den diskussionen (den kan vara ångestladdande). Min poäng är att de flesta IT-användare har ingen aning om den underliggande matematiken, ej heller är de intresserade av den. Man kan köra bil utan grundläggande kunskaper i fysik som förklarar hur en förbränningsmotor fungerar, varför det är viktigt att hjulen kan snurra i sinsemellan olika hastigheter, eller ens hur rattens rörelse påverkar bilen. Det är bara att vrida om startlåset och tuta och köra. Den moderna IT-tekniken har på inget sätt stimulerat eller underlättat de flesta personers intresse och tillgodogörande av matematiken. Jag skulle snarare vilja hävda tvärtom. Det bidrar till en 'intellektuell alienation' som alla teknik innebär som man inte kan förstå utan betraktar som svarta lådor. Och just svarta lådor är just vad dessa IT-prylar har blivit. Sedan är det en annan sak att dagens ungdom har anammat en känsla för den interface som har utvecklats mellan människa och dator, och däri om något, ligger den ofta hävdade, skickligheten när det gäller datoranvändning, som således är av administrativ art.

Den moderna IT-tekniken har i mitt fall revolutionerat min vardag dels genom e-posten, dels genom Wikipedia, men detta gör bara vissa saker enklare som jag skulle ha gjort i alla fall. Dock det roligaste med datorerna är att man kan programmera (jag föredrar att göra det i C och PostScript, from first principles' inget tjafs med alla dessa programpaket). Jag förstår inte hur folk kan spela dataspel när man kan programmera. Det har faktiskt även fördjupat mitt intresse för matematik, dock ej för specifik matematik som kan ha handfasta IT-tillämpningar. Jag misstänker dock att mitt förhållande till IT inte är speciellt typisk.

Jag tror att de flesta som är intresserade av matematik även är intresserade av att programmera, och de båda aktiviteterna kan berika varandra. Det är ju så att endast om man har en ganska bred matematisk bildning som man får uppslag till intressanta problem att programmera. (Och jag hävdar att i detta sammanhang är viktigt att man programmerar på en ganska låg nivå så att själva programmeringen blir en övning i matematiskt tänkande och inte bara någon knapptrycking som lätt blir fallet om man strävar efter att göra användarvänliga programpaket.). Detta kan i sammanfattning vara min attityd till IT och matematik. Jag misstänker att den inte är speciellt typisk den heller. Dock vad jag vänder mig emot är tanken att tekniska  tillämpningar på olika IT-tekniker, som oftast framhålls när man vill sjunga matematikens lov, verkligen lockar folk. Det genuina matematikintresset skiljer sig inte från det genuina musikintresset. Få personer
 ger sig på den musikaliska banan så att de kan komponera käcka marscher med militär  tillämpning.

Slutligen finner jag argumentet att jag sågar både dig och Sverker samt även pucklar på er bägge, något förbryllande. Dig nämner jag bara i en bisats såsom en 'enabler' (som borde veta bättre?). Vad Sverker har för revolutionerande syn på matematiken i skolan undgår mig, bortsett från att han vill avskaffa den helt. Det är svårt att föra en så kallad konstruktiv dialog med sådana vitt skilda utgångspunkter.

Detta brev blev skrivit i all hast och mina formuleringar är inte så väl genomtänkta, men dock den allmänna trenden bör vara någorlunda klar. Jag orkar dock inte, förkyld som jag är, att skriva något separat på ditt kommentarsfält utan ger dig fria händer att göra vad du vill med detta brev. (Vilket är lite farligt, du kan ju bara presentera lösryckta citat och få det till vad som helst. Men jag litar på din goda vilja.).

Min kommentar följer i kommande post.

Mattelyftet i Praktiken

Nu finns en demo att studera av den fortbildning för matematiklärare som Björklund beställt av Skolverket till en kostnad av 2.6 miljarder och som Skolverket i sin tur beställt av Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) och som NCM nu levererat som

• Taluppfattning och tals användning: Del 1. Att undervisa i matematik, för åk 7-9. 

Demon består av

• en video: katederlektion på högstadiet om division med tal i decimalform, 
• några korta texter. 

I texten upplyses matematikläraren under utbildning i traditionell katederundervisning om en jämförelse med en mer projektorienterad form: 

• Eleverna som arbetat projektorienterat fick tillgång till ett kunnande som var flexibelt och dynamiskt [...] Matematiken blev för eleverna ett verktyg att förstå världen omkring den. I den mer traditionella undervisningen fick eleverna ett statiskt och passivt kunnande, endast användbara i skolinterna och möjligen inommatematiska sammanhang. 

Den katederundervisning som lärarna nu skall lära sig genom att titta på videon döms alltså ut i medföljande text.

Videon producerad av NCM visar hur en superlärare (lite slängigt nochalant men inte elak utan till synes välmenande) lär 16-åringar hur man med katederundervisning (aktiv lärare med klassen helt i sin hand), löser uppgiften att med superlärarens ord:

• på olika sätt räkna ut vad 6 delat med 0.1 blir, en helt naken situation inte taget från nåt sammanhang utan bara rakt upp och ner, rena siffror, utan miniräknare genom att räkna i räknehäftet. 
• Man kan tänka så här: Hur många decimeter går det på en meter? Jo 10. Och på 6 meter blir det ju då 60....sambandet mellan division och multiplikation... en av flera strategier...och 4 gånger 6 är ju 24...vi börjar hitta lite såna där samband... 
• ... snyggt att ni använder det där matematiska språket (till elev som säger: ju mindre nämnaren är desto större blir kvoten)... 

Om nu detta är representativt för Mattelyftet för 16-åringar, så är det inte mycket för pengarna. Bara en förolämpning och psykning av lärare och elever, och det var väl ändå inte meningen Björklund?

Matematikers Existentiella Ångest

Oktobernumret av Svenska Matematikersamfundets Bulletin tar upp frågan om skolmatematiken "behövs". Ordförande Per-Anders Ivert inleder med

• Själv kan jag inte svara på vad som behövs och inte behövs. Det beror på vad man menar med ”behövs” och även på hur skolmatematiken ser ut.

Ulf Persson följer upp med en betraktelse som inleds med:

• Det tycks vara ett faktum att en stor del av befolkningen avskyr matematik och finner skolmatematiken plågsam.

och avslutas med:

• Vad som började med en oskyldig betraktelse över matematikfientlighet utmynnade i existentiell ångest. 
• Kanske bäst att sätta punkt (åtminstone för tillfället).

På vägen dit har jag (och även Sverker Lundin) sågats: 

• Johnson har en vision att all matematik skall vara underställd IT-revolutionen, och att 
• matematik därmed blir ett tekniskt verktyg som endast en liten minoritet behöver befatta sig med.

Ivert och Persson uttrycker den vilsenhet, och därav kommande ångest, som präglar matematikerns syn på sitt ämnes roll i skolan av idag: Yrkesmatematikern vet inte om skolmatematiken längre "behövs" och då vet inte skolmatematikern och eleven det heller. 

Men Persson förvränger medvetet mitt och Sverker Lundins förslag IT-Matematik: Det är inte matematik som underställs IT utan tvärtom IT som bygger på matematik.  Detta gör att matematik verkligen behövs i dagens skola, som förberedelse för IT-samhället för alla elever i begriplig praktisk form, och för elever med intresse för teori i mer avancerad form för individuell utveckling. 

Detta är väl inte så svårt att förstå Ulf? Och om Du förstår så lättar väl ångesten, en smula?

PS. Notera att Persson bearbetar sin ångest genom att puckla på mig och Sverker, och inga andra, vilket visar att det är vi som har något (potentiellt revolutionerande) att komma med, och inga andra.     

Nytt Skolämne: IT-Matematik (S)

Här följer uppdaterad beskrivning av IT-matematik utformad tillsammans med Sverker Lundin:

Skolan i IT-Samhället

Vi lever idag i ett IT-samhälle i snabb förändring driven av en datorkraft som fördubblas var 18e månad enligt Moore's lag, som visat sig gälla sedan datorns introduktion på 1940-talet. Den enskilda datorprocessorns hastighet ökar inte längre utan det är istället antalet processorer som växer.

Alla delar av samhället förändras av IT och eftersom skolan speglar samhället, så kommer även skolan att förändras av IT. I en del förskolor lär sig nu 6-åringar att läsa, skriva och räkna med hjälp av iPad redan i förskolan, vilket radikalt förändrar förutsättningarna för den egentliga skolan.

Datorn i Skolmatematiken

Datorn är en matematikmaskin som automatiskt utför matematiska beräkningar enligt givna datorprogram. 

Vårt moderna samhälle är fullt av datorer. Ofta tänker man bara på persondatorerna, det som nu blivit till laptops, ipads och iphones. Men även kylskåp, TV-apparater och flygplan innehåller datorer. Datorer fungerar lite som apparaters hjärna: med hjälp av datorprogram och matematik tar de in information, bearbetar den och sänder ut signaler som bestämmer vad som skall göras. Principerna är de samma för en Xbox som kör FIFA-13 och en tvättmaskin som kör programmet för kulörtvätt.

Av alla ämnen i skolan är matematik det ämne som mest fundamentalt kopplar till IT-samhället.

Potentiellt sett är därför matematik det ämne som mest fundamentalt kopplar till IT-samhället. Vi skriver potentiellt, eftersom skolmatematiken i dagsläget inte motsvarar denna uppgift. För att förstå och dra nytta av datortekniken behöver man nämligen en helt annan sorts undervisning och träning än den som erbjuds på matematiklektionerna idag.

Skolmatematiken tog form i en tid då det inte fanns datorer, där förmågan att utföra beräkningar - i huvudet eller med papper och penna - spelade en mycket större roll än den gör idag. En lång rad sociala mekanismer har gjort att skolmatematiken hängt kvar i denna målsättning, trots att samhället runt omkring förändrats radikalt.

Skolmatematiken motsvarar inte sin egentliga uppgift. Att den misslyckas att leva upp till sin målsättning, det framgår med all önskvärd tydlighet. Men den strävar inte ens mot det rätta målet. Skolmatematiken kris beror därför varken på bristande lärarkompetens eller att eleverna är ointelligenta och omotiverade.

Det avgörande problemet är att skolmatematiken lever i sin egen värld: den strävar efter sina egna traditionella mål, med sina egna, omoderna och ineffektiva metoder. Förmodligen är detta inte ens något som de flesta rektorer, lärare och elever vill - det är en följd av skolans inneboende tröghet.

Nuvarande skolmatematik är utformad för ett samhälle utan dator, ett samhälle utanför skolan som inte längre finns. Skolmatematiken har alltså förlorat sin uppgift, och den återskapas inte genom att skruva åt tumskruvarna på både lärare och elever i nuvarande system, som Björklund nu gör.

Skolmatematiken behöver alltså reformeras från grunden för att motsvara samhällets nuvarande behov. Reformen genomförs lämpligen genom att det traditionella skolämnet matematik ersätts med ett nytt ämne IT-matematik som lär ut grunderna av IT tillsammans med den matematik som utgör grunden för IT.

IT-Matematik: Datorn Frigör Mänsklig Tanke

Varav består då denna IT-matematik som utgör grunden för IT-samhället? På vad sätt skiljer den sig från traditionell matematik?

Jo, skillnaden är vem som utför den matematiska beräkning, som all användning av matematik leder till, människan med papper och penna eller datorn. Människans förmåga till beräkning är försvinnande liten jämfört med datorn, vilket betyder att människan utan dator bara kan göra det allra enklaste, och även det har visat sig svårt att lära ut, som att dividera heltal eller addera bråk, medan detta och mycket mer inte är någon match för datorn.

Datorn kan alltså frigöra den mänskliga tanken till att göra det den är bra på, nämligen att formulera principer som kan omsättas i datorprogram för beräkning.  Detta är grunden för IT-samhället med Google, ljud, bild, film, simulering i digital form med mera.

Tvärtemot att leda till ökad föreståelse, är den traditionella skolmatematikens fokus på beräkningar ett slöseri med tid och energi. Utanför skolan är man klok nog att låta datorer sköta detta, om det så är kassaapparaten på Konsum som utför triviala aritmetiska beräkningar, eller avancerade beräkningsprogram som används av ingenjörer för att designa vindkraftverk eller radhus.

IT-Matematik: Samspel Människa - Maskin

IT-matematik sätter fokus på samspelet mellan människan och tekniken, för detta har blivit helt centralt i dagens samhälle. Matematiken kan vara en kraftfull resurs i detta samspel - som ett sätt att tänka, som ett sätt att få tekniken att göra det man vill. Men detta har ytterst lite med dagens skolmatematik att göra. Det kräver att datortekniken får en annan roll i skolan än vad den har idag.

Inom IT-matematiken lär sig eleverna att arbeta med tekniken, att använda den för sina egna syften, att ta kontrollen över den - att styra den med hjälp av matematik och programmering. Detta är sannerligen fascinerande, och det är något som eleverna idag går miste om. Istället är det bara det fåtal som lär sig detta på egen hand - säkert på grundval av sina föräldrars sociala position och intressen - som blir rustade att orientera sig och ta kontrollen i det teknikfyllda samhället.

IT-Matematik: Brett Samlingsämne

Skolmatematiken är idag ett i stor utsträckning isolerat skolämne - trots att matematiken, utanför skolan, spelar en central roll inom såväl fysik och kemi, som inom ekonomi, bild, musik och även idrott. Orsaken till denna isolering ligger i skolmatematikens historia; dess envetna fokus på sin egen idé om vad det innebär att förstå och kunna, en idé där eleverna förmåga att utföra beräkningar i huvudet eller med papper och penna står i centrum.

IT-matematiken är inte inåtvänd på detta sätt, utan tar matematiken och datortekniken som utgångspunkt för att göra något, lösa problem, hitta nya ingångar och möjligheter, i skolans övriga ämnen. IT-matematiken gör matematik och datorteknik till fascinerande redskap, för förståelse och problemlösning.

IT-Matematik: Läroplan

I korthet består IT-matematik av

• räkning med hela tal, decimaltal och rationella tal för kvantitativ beskrivning
• analytisk geometri 1, 2 och 3 dimensioner för rumslig beskrivning med tal
• algebra för formulering av samband som algebraiska ekvationer
• derivata och integral för beskrivning av samband som differential/integral ekvationer
• algoritmer för lösning av ekvationer
• programmering. 

Med dessa redskap kan den verkliga världen och tänkta världar specificeras som matematiska ekvationer och sedan simuleras genom att låta datorn lösa ekvationerna, enligt den metod av modellering - lösningsalgoritm - simulering, som är naturvetenskapens metod.

 IT-matematik kopplar därmed direkt till fysik, kemi, ekonomi, bild, musik och även sport och fiction som föremål för datorsimulering, med möjlighet till olika former av spel.

IT-matematik med detta innehåll kan naturligen utformas med ökande bredd och djup från det allra enklaste med start redan i förskolan till en nivå långt över den nuvarande för intresserade elever. Hur ett sådant program kan se ut på universitetsnivå, beskrivs i detalj som Mathematical Simulation Technology. 

Programmet kan se i princip likadant ut på alla nivåer, med gymnasieprogrammet som en förenklad variant av universitesprogrammet, grundskoleprogrammet som en förenklad variant av gymnasieprogrammet osv till förskolan.

IT-matematik innehåller en begränsad kärna av matematik, som inte tyngs av manuell formelmanipulation,  och som öppnar till en mångfald tillämpningar.  IT-matematik kan därmed bli ett brett samlingsämne som inte lämpar sig för standardisering, mätning och gradering, och därför kan upplevas positivt av de flesta elever samtidigt som det kan ge elever med särskilt intresse för IT och tex naturvetenskap utrymme för utveckling.

IT-matematik ges uppgiften att både introducera till IT i alla dess former för att förbereda den unga generationen för IT-samhället, och att lära ut grunderna av IT-matematik. Nuvarande isolering av skolmatematiken elimineras med IT-matematik.

IT-Matematik: Perspektiv

Conrad Wolfram säger på computerbasedmath.org:

• We've got a real problem with math education today.
• I believe that computers correctly used is the silver bullet that can make math education work.
• Computer-based math: Critical reform.
• The country that does it first will leap-frog others.
• This is not an incremental sort of change.
• I want to see a completely renewed changed math curriculum built form the ground up based on computers...
• I am not even sure we should brand the subject as math.
• What I am sure is that it is the main-stream subject of the future.

IT-Matematik: Vidareutbildning av Lärare

För att ersätta den nuvarande skolmatematiken med det nya ämnet IT-matematik  behövs vidareutbildning av lärare. Björklund satsar nu 2.6 miljarder på Mattelyftet för att öka lärarnas kompetens att lära ut den traditionella skolmatematik som spelat ut sin roll. Björklund har givit uppdraget åt Skolverket som skickat det vidare till Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) i Göteborg.

Skolverket visar under Lärarportalen i ett exempel hur denna vidareutbildning kommer att vara utformad: Vi får in en videofilm se hur en superlärare visar hur en vanlig lärare skall gå till väga för att lära elever i åk 9 vad 6 delat med 0.1 kan vara, utan att använda miniräknare, som en demonstration av Björklunds nygamla "kateder-undervisning". Exemplet visar det totala misslyckandet av nuvarande skolmatematik samt den totala meningslösheten av Mattelyftet i NCMs regi.

Samtidigt skriver Skolverket med entusiasm om Matematik och IT: 

• Under hösten kommer vi (S) och övriga oppositionspartier att lägga fram ett förslag om en sammanhållen it-strategi för skolan, säger Ibrahim Baylan.   

Om Björklunds pengar satsades på vidareutbildning av lärare i IT-matematik, istället för meningslös konstgjord andning av död pedagogik, så skulle svensk skola kunna få den injektion av vilja och kunnande att lära och lära ut, som behövs för att lyfta skolan ur sin nuvarande hopplöshet.

IT-Matematik i Affärsplan för Sverige (S)

IT-matematik passar väl in i Stefan Lövens "affärsplan för Sverige" med sikte på konkurrenskraft och innovation. Ett sådant förslag kan mycket väl komma att avgöra valet 2014. Ett nytt möte med S är naturligt.

PS Läs om Matematikers Existentiella Ångest.

Nytt Skolämne: IT-Matematik 1

Här är den första av en serie poster om ett förslag till reform av skolmatematiken som jag avser att lägga fram:

Vi lever idag i ett IT-samhälle i snabb förändring driven av en datorkraft som fördubblas var 18e månad enligt Moore's lag, som visat sig gälla sedan datorns introduktion på 1940-talet. Den enskilda datorprocessorns hastighet ökar inte längre utan det är istället antalet processorer som växer.

Alla delar av samhället förändras av IT och eftersom skolan speglar samhället, så kommer även skolan att förändras av IT. I en del förskolor lär sig nu 6-åringar att läsa, skriva och räkna med hjälp av iPad redan i förskolan, vilket radikalt förändrar förutsättningarna för den egentliga skolan.

Datorn är en matematikmaskin som automatiskt utför matematiska beräkningar enligt givna datorprogram. Av alla ämnen i skolan är matematik det ämne som mest fundamentalt kopplar till IT-samhället.

Men nuvarande skolmatematik motsvarar inte denna uppgift, eftersom den är utformad för ett samhälle utan dator, ett samhälle utanför skolan som inte längre finns. Skolmatematiken har alltså förlorat sin uppgift. Det är detta som är den egentliga orsaken till skolmatematikens nuvarande kris, inte bristande lärarkompetens eller ointelligenta omotiverade elever, och krisen löses inte genom att skruva åt tumskruvarna på både lärare och elever i nuvarande system, som Björklund nu gör.

Skolmatematiken behöver alltså reformeras från grunden för att motsvara samhällets nuvarande behov. Reformen genomförs lämpligen genom att det traditionella skolämnet matematik ersätts med ett nytt ämne IT-matematik som lär ut grunderna av IT tillsammans med den matematik som utgör grunden för IT.

Varav består då denna IT-matematik som utgör grunden för IT-samhället? På vad sätt skiljer den sig från traditionell matematik?

Jo, skillnaden är vem som utför den matematiska beräkning, som all användning av matematik leder till, människan med papper och penna eller datorn. Människans förmåga till beräkning är försvinnande liten jämfört med datorn, vilket betyder att människan utan dator bara kan göra det allra enklaste, och även det har visat sig svårt att lära ut, som att dividera heltal eller addera bråk, medan detta och mycket mer inte är någon match för datorn.

Datorn kan alltså frigöra den mänskliga tanken till att göra det den är bra på, nämligen att formulera principer som kan omsättas i datorprogram för beräkning.  Detta är grunden för IT-samhället med Google, ljud, bild, film, simulering i digital form med mera.

I korthet består IT-matematik av

• räkning med hela tal, decimaltal och rationella tal för kvantitativ beskrivning
• analytisk geometri 1, 2 och 3 dimensioner för rumslig beskrivning med tal
• algebra för formulering av samband som algebraiska ekvationer
• derivata och integral för beskrivning av samband som differential/integral ekvationer
• algoritmer för lösning av ekvationer
• programmering. 

Med dessa redskap kan den verkliga världen och tänkta världar specificeras som matematiska ekvationer och sedan simuleras genom att låta datorn lösa ekvationerna. IT-matematik kopplar därmed direkt till fysik, kemi, ekonomi, bild, musik och även sport och fiction som föremål för datorsimulering, med möjlighet till olika former av spel.

IT-matematik med detta innehåll kan naturligen utformas med stigande bredd och ökat djup från det allra enklaste med start redan i förskolan till en nivå långt över den nuvarande för intresserade elever. Hur ett sådant program kan se ut på universitetsnivå, beskrivs i detalj som Mathematical Simulation Technology. Programmet kan se likadant ut på alla nivåer, bara enklare ju tidigare.

IT-matematik innehåller en begränsad kärna av matematik, som inte tyngs av manuell formelmanipulation,  och som öppnar till en mångfald tillämpningar.  IT-matematik kan därmed bli ett brett samlingsämne som inte lämpar sig för standardisering, mätning och gradering, och därför kan upplevas positivt av de flesta elever samtidigt som det kan ge elever med särskilt intresse för IT och tex naturvetenskap utrymme för utveckling.

IT-matematik ges uppgiften att både introducera till IT i alla dess former för att förbereda den unga generationen för IT-samhället, och att lära ut grunderna av IT-matematik. Nuvarande isolering av skolmatematiken elimineras med IT-matematik.

För perspektiv på IT-matematik, begrunda vad Conrad Wolfram säger:

• We've got a real problem with math education today.
• I believe that computers correctly used is the silver bullet that can make math education work.
• Computer-based math: Critical reform.
• The country that does it first will leap-frog others.
• This is not an incremental sort of change.
• I want to see a completely renewed changed math curriculum built form the ground up based on computers...
• I am not even sure we should brand the subject as math.
• What I am sure is that it is the main-stream subject of the future.

The Enigma of the Aerofoil 3

                                                         Sir Leonard Bairstow (1880-1963)

The Enigma of the Aerofoil by David Bloor describes the dispute in England after the 1st World War between Leonard Bairstow representing Cambridge mathematics and Hermann Glauert influenced by German aerodynamics engineering led by Ludwig Prandtl, concerning the fundamental problem of aerodynamics of flight with the following highlite:

• The International Air Congress for the year 1923 was held in London. It provided a further occasion for assessing the advances that had been made in aeronautics during the war years and for addressing unresolved problems. It was a highly visible platform on which the supporters and opponents of the circulatory theory could express their opinions and, in some cases, air their grievances. 
• In the morning session of Wednesday, June 27, there were three speakers: Leonard Bairstow, Hermann Glauert, and Archibald Low. The first to speak was Bairstow, whose talk was titled “The Fundamentals of Fluid Motion in Relation to Aeronautics.” 
• Bairstow was explicit: his aim was nothing less than the mathematical deduction of all the main facts about a wing from Stokes’ equations and the known boundary conditions. 
• The work of Stanton and Pannell had shown that eddying motion did not compromise the no-slip condition and had established kinematic viscosity as the only important variable. “These experiments appear to me,” said Bairstow, “to remove all doubt as to the correctness of the equations of motion of a viscous fluid as propounded by Stokes and the essential boundary conditions which give a definite solution to the differential equations. 
• The range of these equations covers all those problems in which viscosity and compressibility are taken into account, and from them should follow all the consequences which we know as lift, drag etc. by mathematical argument and without recourse to experiment. Such a theory is fundamental”.
• The boundary conditions were empirical matters, but thereafter everything should follow deductively: lift, drag, changes in center of pressure, the onset of turbulent flow and stalling characteristics, along with a host of other results. 

In short, Bairstow stated that theoretical aerodynamics could be reduced to solving the Navier-Stokes equations for slightly viscous flow using mathematics. Bairstow thus reduced aerodynamics to mathematics, in the same way as celestial mechanics was by Newton reduced to solving the equations of motion for a set of n bodies subject to gravitational attraction, referred to as the n-body problem. 

Newton showed that the equations of motion could be solved analytically for a sun with one planet (n=2) and by followers using perturbation techniques for a planetary system like ours (n=10), which made Newton immensely famous. 

But Bairstow (and nobody else at his time) could solve the Navier-Stokes equations in any case of interest of aerodynamics,  which made his grand plan useless. Bairstow thus had nothing to match Glauert's The Elements of the Aerofoil and Air Screw Theory published in 1926 based on circulation theory for inviscid flow with a fix-up in the form of the Kutta condition at the trailing edge, which gave some results and set the text book standard into our time. 

Today it is possible to solve the Navier-Stokes equations using computers and Bairstow's grand plan can finally be realized.  This shifts the weight back to fundamentals without fix-up boosted by computation, and circulation theory with fix-up has no longer any role to play, as explained in detail on The Secret of Flight.

Letter to AIAA Journal Chief Editor into Waste Basket

The following letter was sent to AIAA Journal Chief Editor Peretz P. Friedman on Sept 17.
The letter was thrown into the waste basket by AIAA without answer.

Concerning New Theory of Flight submitted to AIAA Journal

In March 2012 we submitted the article New Theory of Flight to AIAA
Journal. The article presents a new mathematical description of the
generation of lift and drag from the flow of air around a wing, which is
fundamentally different from the current textbook theory based on the work
by Kutta-Zhukovsky-Prandtl. Our new theory is based on a mathematical
analysis of computed solutions of the 3d Navier-Stokes equations with lift
and drag within experimental error tolerance for all angles of attack
including stall and beyond.

The assigned AIAA Journal editor Gregory Blaisdell acknowledges that our
article "is unusual in that it challenges our existing understanding of
aerodynamics". However, the challenge is not really evaluated by the
reviewers and the editor, who instead respond by a lengthy defense of
exactly the existing theory we question using exactly the same arguments
we question, without actually considering our arguments and evidence.

One of the reviewers states: "The authors provide no documented scientific
evidence to discredit the current state of the art”, but acknowledges
that: “At most, perhaps they present a numerical model of the governing
equations which avoids the need to discretize the boundary layer“.

Our objective is not to "discredit" classical theory. But we do present a
new theory made possible through the recent developments in computational
modeling of turbulent flow based on the Navier-Stokes equations, which
allows for quantitative prediction of the full 3d flow field including
aerodynamic forces, also for separated flow beyond stall. Our evidence
consists of accurate solutions of the 3d Navier-Stokes equations in close
correspondence with observation, and an analysis of these solutions.

We therefore request a new review process by AIAA of our article, without
being simply discarding in a defense of the classical theory.

Sincerely, JH, JJ and CJ

Resurrected Boosted Scientific Method

Feyerabend describes in Against Method a collapse of 19th century science based on the idea that there is a "scientific method" capable of leading scientists to discover "truths" about the World. Feyerabend describes 20th century science as a science without "method" where "Anything Goes",  connecting to Kuhn's analysis with "method" replaced by "fashion".

Feyerabend thus describes a change at the turn to the 20th century from rational positivism of enlightenment and modernity into postmodern pessimism, which is essentially the change from classical physics into modern physics.

But to give up rationality and "method" if it is not really necessary, may be stupid and so it is important to understand (i) the limits of the "method" of classical physics and (ii) what caused the collapse into modern physics.

Classical physics can be described by combinations of

• Lagrange equations of rigid body mechanics (Newton's equation of motion)
• Navier's equations of solid mechanics
• Navier-Stokes equations of fluid/gas mechanics
• Maxwell's equations of electro-magnetics.

The equations express balance of forces and constitutive relations describing material properties as sets of partial differential equations and the "method" consist of finding the constitutive relations by theory or experiment and then solving the equations. 

Combined with the computer this "method" is today used on a large scale in science and engineering as a rational approach to simulating, controling and understanding the world. Combined with the computer classical physics does not seem to have any real limits. Nothing of this can be described as "Anything Goes".

The collapse of classical physics around 1900 was caused by two perceived paradoxes:

• The ultraviolet catastrophe of blackbody radiation.
• The Michelson-Morley paradox of perceived non-existence of an ether medium for propagation of electromagnetic waves.

The ultraviolet catastrophe led to quantum mechanics and the ether paradox to relativity theory, the two pillars of modern physics, both representing the "Anything Goes" of Feyerabend as physical theories beyond rationality and human comprehension. 

But both paradoxes may be solved essentially within the "method" of classical physics as I seek to show in Mathematical Physics of Blackbody Radiation and Many-Minds Relativity. 

If I am right, then maybe scientific method can be resurrected, not as limitation but as an effective tool of both rationalization and discovery combined with an open mind of "Anything Goes" as a door to both invention and understanding. 

The computer thus boosts the scientific method of classical physics into a formidable tool and opens to a new modern positivism following postmodern pessimism. The introduction of the iPad 100 years after the collapse of classical physics, may well come to signify the new modernity of resurrected boosted scientific method. After all, an iPad app is nothing but computational mathematical physics created by an inventive mind using the "method".

As an example of resurrected boosted classical fluid mechanics, discover The Secret of Flight. 

Lift (Not) Explained at National Air and Space Museum

                                  A museum full of objects but empty of understanding.

Here is the response from John D. Anderson, Curator of Aerodynamics, Smithsonian National Air and Space Musuem, to my question how lift of a wing is explained by state-of-the-art expertise of today:

• There are several explanations that have been offered for how aerodynamic lift is produced on an airfoil. 
• Some of these explanations are given with almost religious fervor, which sometimes generates heated intellectual debate over which is correct. 
• Such discussions are a matter of philosophy as to which explanation is the most fundamental. 
• The following is my philosophical conviction as to the most fundamental mechanisms used by nature to generate lift: 
• The lift is mainly due to the pressure distribution on the surface; shear stress has only a small effect on lift. In general, for an airfoil that is generating lift, the average pressure exerted on the top surface (pressing down on the airfoil) is smaller than the average pressure exerted on the bottom surface (pressing up on the airfoil). With lower pressure on the top and higher pressure on the bottom, presto -- lift on the airfoil. 
• Therefore, let us concentrate on how nature creates this situation, i.e., how nature produces the pressure distribution over the surface of the airfoil. 
• First, the flow velocity is faster over the top surface and slower over the bottom surface. Why? Because mass must be conserved. 
• Now let us invoke the famous “Bernoulli principle”:
• Because the flow speeds up as it flows over the top surface of an airfoil, as explained above, then the pressure over the top surface must go down. 
• The flow velocity over the bottom surface is lower than over the top, hence the pressure over the bottom surface is higher than on the top. This imbalance of pressure (higher on the bottom and lower on the top) creates an upward force on the airfoil – the lift. 
• Please note: In nature, the velocity increase does not come first, and the pressure decrease does not come second, or vice versa. 
• Nature does all this simultaneously, applying the fundamental laws all at the same time. Nature sets up a velocity field and a pressure field simultaneously, fields that obey the fundamental principles. 
• So there you have it. The absolute fundamental principles of mass conservation and Newton’s 2nd law are the reasons why lift is produced, and we have just explained how nature invokes these two principles to create lift on an airfoil. 
• This is what nature does. 
• I can not advance a philosophy on the generation of lift more fundamental than this, although it takes a full page to explain it.

To sum up, lift results from Newton's 2nd law and mass conservation, according to the highest authority of state-of-the-art science represented by John D. Anderson, author of the book Fundamentals of Aerodynamics, professor em of aerodynamics at Univ. of Maryland and Curator of the National Air and Space Museum.

But this is science reduced to empty triviality. Anderson sends me the following excuse:

• My explanation is based on the fundamentals of physics that apply to any flow, incompressible to hypersonic. This explanation is different from yours, but neither is necessarily “wrong.” 

No, it is not "wrong" because it is completely empty, and an empty statement cannot be judged as "wrong", only void of any meaningful content.

But a Museum of Science which is empty has no role to play, nor does a scientific theory which is a triviality.

PS1 Note that Anderson does not mention circulation theory, the only non-trivial theory of lift presented in text books,  presumably because Anderson share our insight that it is an unphysical and thus incorrect theory.

PS2 The aerodynamics experts at KTH (Art Rizzi and Ulf Ringertz) are smarter than Anderson; they simply refuse to answer any question posed by me about state-of-the-art. But to say nothing is less than repeating a triviality.

PS3 Anderson does not say that our New Theory of Flight is "necessarily "wrong"", which could mean that Anderson believes that it could well be correct. But Anderson does not say that he has studied the New Theory to find out if is correct or not. It may be that Anderson would rather see our theory published by AIAA as new input to a discussion without conclusion since 100 years, than a rejection aimed at stifling discussion. I have asked him about his opinion of the New Theory and will report the answer.

PS4 The generation of lift of a wing is described by Anderson as follows on the museum's web site How Things Fly educating the next generation of US scientists:

• A wing is shaped and tilted so the air moving over it moves faster than the air moving under it. As air speeds up, its pressure goes down. So the faster-moving air above exerts less pressure on the wing than the slower-moving air below. The result is an upward push on the wing—lift!

One Paradox Enough to Kill a Theory

A scientific paradox is a contradiction between the prediction of a scientific theory and observation.

The detection of a paradox of a scientific theory means the end of the theory, unless the contradiction between theory and observation can somehow be resolved, either by changing the theory or the observation.

As an illuminating illustration let us consider D'Alembert's paradox in fluid mechanics, which compares the zero drag of potential flow as stationary incompressible inviscid flow around a body of any shape, with the observation of substantial drag in slightly viscous flow of aero/hydro-mechanics. Theory says drag = 0, while observation shows drag = 1, a glaring contradiction.

D'Alembert's paradox was formulated in 1752 but was not solved until 2008 after 256 years of brooding by the most able minds of mathematics and mechanics.

How was the paradox then handled during its 256 years of existence as a potentially lethal poison to the science of fluid mechanics? Since observation of drag =1 could not be argued away, it was necessary to blame one of the assumptions of potential flow for the unrealistic prediction of zero drag, and then the assumption of zero viscosity of inviscid flow was the first choice:

It was argued that even if the viscosity of air or water is very small, it is not zero and drag = 1 thus results from an arbitrarily small positive viscosity. This led from the zero viscosity Euler equations, allowing unphysical potential solutions which could be computed analytically, to the positive viscosity Navier-Stokes equations with solutions which could not be computed at all.

The paradox was thus wiped away by a gesture without any real scientific substance. If solutions to the Navier-Stokes equations could not be computed then no predictions could be made assuming positive viscosity, which thus was a useless theory. Practical engineering was thus thrown back into d'Alembert's paradox of zero drag of inviscid flow incompatible with the observed lift of a wing in many experiments in the late 19th century preparing for the powered sustained flight demonstrated by the Wright brothers in 1903.

The observations required a change of theory and since positive viscosity had led to a dead end,  a new card had to be pulled and this was the circulation theory of Kutta and Zhukovsky changing potential flow by large scale circulation around the wing section. From circulation followed lift (but still no drag) and the problem now was to explain the generation of circulation by a wing.

To this end, viscosity was again brought in, which of course led to the same dead end as before, but with a bit of mathematics of analytical functions, this was covered up and kept the paradox under control for over 100 years, although many scientists had their doubts.

A non-correct resolution of a paradox thus showed to be better than no resolution at all (which as indicated was unacceptable). One way of maintaining an incorrect theory involving a paradox, thus amounts to presenting one incorrect resolution after the other of the paradox as a way to delay the final verdict that the theory is incorrect.

If you follow this blog, you know about the correct resolution of d'Alembert's paradox presented in 2008 and you may well understand the far-reaching consequences of the the resolution.

Feyerabend on the New Theory of Flight

Paul Feyerabend expresses the central message of Against Method as follows:

• My intention is not to replace one set of general rules by another such set: my intention is, rather, to convince the reader that all methodologies, even the most obvious ones, have their limits. The best way to show this is to demonstrate the limits and even the irrationality of some rules which she, or he, is likely to regard as basic. 

Let us speculate about what Feyerabend might have said about the New Theory of Flight explaining the generation of large lift at the price of small drag of the wing of an airplane or bird, that is the secret of flight. Feyerabend could have posed the following questions:

1. When and how was the secret of flight revealed in the form of the New Theory of Flight?
2. Why did it take so long time (100 years after the first sustained powered flight)?

We could have answered Feyerabend as follows:

The New Theory of Flight came out as a natural consequence of the resolution of D'Alembert's paradox by Hoffman and Johnson in 2008 describing slightly viscous bluff body flow as potential flow modified by 3d rotational separation. This description was rationalized from a stability analysis of potential flow after inspection of computed turbulent solutions of the Navier-Stokes equations. 

The "method" used was to solve the Navier-Stokes equations computationally, understanding that slightly viscous flow should be well described by the Navier-Stokes with a slip boundary condition, and then look for features of the turbulent solutions which could be grasped by analytical mathematics. This "method" worked in this case because the main feature of 3d rotational separation could be connected to the basic instability mechanism of potential flow at separation.

We could thus "understand" slightly viscous bluff body flow, such as the flow around a wing, in analytical mathematical terms as potential flow modified by 3d rotational separation resulting from instability of potential flow separation.

We then used the general principle of science that "understanding" of a physical phenomenon means capturing the main features of a mathematical model of the phenomenon in "understandable" analytical terms.

We thus used a "method"consisting of

• solving the Navier-Stokes equations computationally, 
• comparing the solution with the potential solution,
• analyzing the stability of the potential solution.  

We could have asked Feyerabend if this can be described as "anything goes" in the spirit of Against Method, or if it represents an approach which is less ad hoc.

Why did it take so long time to reach this relatively simple insight? Because computational solution of turbulent solutions of the Navier-Stokes equations became possible only 100 years after the first powered sustained flight. 

  

From Pessimism to Positivism in Aerodynamics/Science

The Enigma of the Aerofoil: Rival Theories in Aerodynamics 1909-1930, by David Bloor, 2011, describes the initial British criticism of the German circulation theory of lift developed by Kutta and Prandtl in the beginning of the 20th century, which resisted the attack in the absence of something better and became the leading theory propagated in text books still today (see previous post).

The book can be read as an expression of the pessimism of science resulting from the collapse of classical rational science caused by certain apparent contradictions or paradoxes at the turn to the 20th century, which forced physicists to abandon causality/determinism and fundamental concepts of space and time in the formation of the modern physics of quantum mechanics and relativity theory. For perspectives on this astounding story check out Dr Faustus of Modern Physics.  

Bloor describes a similar collapse in aerodynamics away from the British rationality of the (Navier)-Stokes equations, because the equations could not be solved analytically and not computationally 100 years ago,  into a German "practical engineering solution" with lift trivially generated by circulation without description of the generation of circulation.

In the last chapter Pessimism, Positivism and Relativism: Aerodynamic Knowledge in Context, Bloor seeks to rationalize the drift away from positivism or "truth" into relativism with many truths or pessimism with no truth at all, as an inevitable process characterizing modernity:

• Those who point to the airplane as a symbol of the truth of science, the power of technology, and the reality of knowledge are therefore right—but do they know what they are saying?
• The successful strategy involved the deliberate use of known falsehoods in artful balance with accepted truths. The supporters of circulation theory showed how simple falsehoods could yield dependable conclusions when dealing with a complex and otherwise intractable reality. This is the real enigma of the aerofoil.
• The enigma of the aerofoil is the enigma of all knowledge.

This expresses a breakdown of rational science into black magic, where simple falsehoods could yield dependable conclusions.

But today it is possible to solve the Navier-Stokes equations computationally, and this changes the science of aerodynamics from pessimism back into positivism and "truth", based on the original seemingly correct fundamental idea that all of fluid dynamics emerges as solutions of the Navier-Stokes equations. This brings a major change into aerodynamics as evidenced on The Secret of Flight, which may be representative for other areas of physics, as further elaborated on The World as Computation.

PS The philosophy of science reacts to the development of science with a certain delay. The logical positivism of the 1920s may be seen as an expression of classical rational science at its peak in the late 19th century, while the postmodern relativism and pessimism of e.g. Feyerabend in Against Method, expresses the collapse of rationality in modern physics.

An attempt to combine relativism with rational positivism is made in Many-Minds Relativity and Many-Minds Quantum Mechanics. I argue that relativism with different views of different observers who do not share a common "objective" view, is compatible with rational logical positivism.

The Enigma of the Airfoil 2

This is a continuation of an earlier post on The World as Computation starting out as follows:

The Enigma of the Aerofoil: Rival Theories in Aerodynamics 1909-1930, by David Bloor, 2011, describes the initial British criticism of the German circulation theory of lift developed by Kutta and Prandtl in the beginning of the 20th century, which resisted the attack in the absence of something better and became the leading theory propagated in text books still today. From the description of the book:

• Why do aircraft fly? How do their wings support them? In the early years of aviation, there was an intense dispute between British and German experts over the question of why and how an aircraft wing provides lift. David Bloor ... reveals the impact that the divergent mathematical traditions of Cambridge and Göttingen had on this great debate. 

It is illuminating to read the book from the perspective of the New Theory of Flight, which explains the real physics of generation of lift and drag of a wing resulting from a specific instability mechanism of potential flow, and in particular shows that the circulation theory is unphysical and thus incorrect.

Bloor says about English skepticism to German circulation theory: 

• Horace Lamb had also made gentle fun of the theory of circulation by exploiting the theological overtones of Kelvin's theorem. In his Rouse Ball Lecture of 1924, titled "The Evolution of Mathematical Physics", Lamb had said of perfect fluid theory that "this theory cannot tell us why an aeeroplane needs power for its propulsion; nor, indeed, can it tell us how the aeroplane obtains its sustenation, unless by assuming certain circumstances to have been established at the Creation which, in all reverence, we find it hard to believe" (circulation).
• Every takeoff and landing, Lamb hinted, would require divine anticipation and intervention (circulation).
• In the last edition of his Hydrodynamics, in 1932, Lamb returned to the problem of the origin of circulation and of understanding how it resulted from a smooth flow being established at the trailing edge of a wing. He clearly felt that no satisfactory account had been given of this (circulation).   

Bloor describes how English wit outmaneuvers German technocracy, in what can be seen as an anticipation of the upcoming war. Germany lost the war but German circulation theory survived in the absence of anything better.

The book is recommended to anyone supporting state-of-the-art represented by AIAA and thereby  suppressing the New Theory of Flight which finally resolves the Enigma and delivers what Lamb was asking for.http://claesjohnsonmathscience.wordpress.com/2012/07/23/the-enigma-of-the-aerofoil/