Making of the Prandtl Myth by John D Anderson

We cite from the book Fundamentals of Aerodynamics by John D Anderson addressed in a previous post, concerning Ludwig Prandtl, the father of modern aerodynamics:

• The first practical theory for predicting the aerodynamic properties of a finite wing was developed by Ludwig Prandtl and his colleagues at Gottingen, Germany, during the period 1911-1918, spanning World War I. The utility of Prandtl's theory is so great that it is still in use today for preliminary calculations of finite-wing characteristics.
• The modern science of aerodynamics rests on a strong fundamental foundation, a large percentage of which was established in one place by one man-at the University of Gottingen by Ludwig Prandtl. Prandtl never received a Noble Prize, although his contributions to aerodynamics and fluid mechanics are felt by many to be of that caliber.
• By the 1930s, Prandtl was recognized worldwide as the "elder statesman" of fluid dynamics. Although he continued to do research in various areas, including structural mechanics and meteorology, his "Nobel Prize-level" contributions to fluid dynamics had all been made. 
• Prandtl remained at Gottingen throughout the turmoil of World War II, engrossed in his work and seemingly insulated from the intense political and physical disruptions brought about by Nazi Germany. 
• In fact, the German Air Ministry provided Prandtl's laboratory with new equipment and financial support. 
• Prandtl was considered a tedious lecturer because he could hardly make a statement without qualifying it. However, he attracted excellent students... 
• Prandtl died in 1953. He was clearly the father of modern aerodynamics-a monumental figure in fluid dynamics. His impact will be felt for centuries to come.

Anderson captures the essential quality of Prandtl's theory as a practical method for preliminary calculation of wing characteristics (lift),  and not a physical theory describing the true aerodynamics of the generation of lift of a wing. Anderson further emphasizes the strong connection between Prandtl's work and German war efforts, and thus gives the reason why Prandtl was not near to get a Nobel Prize.

Svar från Ulf Persson 2

Nedan följer svar från Ulf Persson på min fråga i Matematikes Existentiella Ångest 2. Jag delar Ulfs syn på betydelsen av programmering av matematiska metoder från grunden inom matematikutbildning. Detta är det ena benet av BodyandSoul (Puffin inom FEniCS), det andra bestående av kraftfulla datorprogram byggda på matematiska principer för simulering av komplexa fenomen (Dolphin/Applications inom FEniCS).

Men Ulf svarar inte på min fråga om den existentiella ångestens orsak. Kanske det inte är så lätt att analysera, med matematisk metodik.

                                              

Låt mig kortfattat kommentera din uppföljande fråga. Jag vill minnas att du vid något tillfälle skrev att det finns ingenting så praktiskt som en god teori. (Detta med någon specifik hänvisning till Leibniz). Jag hävdar att på ett naturligt och givande sätt kunna uppskatta den moderna kraftfulla datortekniken måste man ha en viss matematisk bildning. 

Problemet är att den nya tekniken är för kraftfull, man får för mycket gratis, och jag ser detta som ett grundläggande pedagogiskt problem. Att bara trycka på en knapp och få fram en lista på alla primtal till en miljon. So what? Helt annat blir situationen om man som liten först har gjort Erathostenes såll för hand för talen upp till säg hundra (en gång en kväll i slutet av 70-talet sållade jag fram primtalen mellan 10'000 och 11'000 och använde olikfärgade pennor, bara för att 'äga' dessa tal mer personligt) sedan programmerar sållet i Basic eller C eller något liknande program där man tvingas att implementera själva sållningsförfarandet. 

Därefter om man vill göra någon större undersökning kan man använda ett programpaket, eller utnyttja sitt eget skrivna program man har ju redan gjort jobbet. Vitsen med att programmera är ju att man då förvissar sig om att man 'är med' hela tiden, något som inte är fallet när man använder ett programpaket.

Paradoxical Circulation Theory of Lift

The New Theory of Flight presented on The Secret of Flight shows that the classical circulation theory of lift by Kutta-Zhukovsky is unphysical and thus incorrect, which is also supported by the fact that it builds on a paradox:

• Kutta-Zhukovsky lifting flow around a 2d airfoil is obtained by augmenting non-lifting potential flow by large scale circulation around the airfoil.
• The sharp trailing edge of an airfoil is supposed to be necessary for generation of lift.  
• The lift is proportional to the circulation, and the circulation is determined so as eliminate the singularity of potential flow arising from the sharp trailing edge.
• Lift is thus paradoxically obtained by elimination of what has been introduced, that is by eliminating the singularity introduced by the sharp trailing edge. This is like obtaining an effect by first introducing something and then removing it, as if (+ 1 - 1) could be greeter than zero. 
• The paradox is supposedly resolved by claiming that the singularity is eliminated by effects of viscosity. 

The New Theory shows that lift is generated, not by a sharp trailing edge, but by wings with smoothly rounded trailing edges with diameter up to 10% of the chord length.

Matematikers Existentiella Ångest 2

Svar till Ulf Persson:

Du säger att Din upplevda ångest inte beror på skolmatematiken, utan "människors allmänna överflödighet", vilket inte låter så trovärdigt. Kanske Din ångest snarare speglar en upplevelse av den traditionella universitetsmatematikerns "allmänna överflödighet" i ett IT-samhälle där traditionell analytisk matematik ersätts av beräkningmatematik, och matematikundervisningen måste förändras.

Ditt intresse för programmering antyder att Du själv är på väg mot en sådan förändring.

Kan det vara så?

Svar från Ulf Persson

Här följer reaktion från Ulf Persson på min post Matematikers Existentiella Ångest:

Först och främst den ångest jag refererar till har ingenting med skolmatematiken att göra, utan rör den allmännare frågan om människors allmänna överflödighet. Kan det vara så att de flesta människor kommer ur ekonomisk synpunkt bara vara intressanta som konsumenter inte såsom producenter. Att tänka i sådana banor kan vara förskräckande. Så låt oss en gång för alla lämna ångesten, den hör inte hemma i den pågående diskussionen (såvida man inte drar ut yttersta konsekvenser.)

Din inställning till matematiken är klarare än den som kännetecknar Sverkers. Sverker tycks hysa ett slags agg mot matematiken, visserligen förnekar han knappast att den kan vara användbar, men att den kan begränsas till en liten grupp tekniker och att den inte har någon bredare kulturell uppgift. Jag tror knappast att du känner ett agg mot matematiken, och att du till skillnad från många professionella matematiker har en vision med vad du vill med matematiken. Detta respekterar jag dig för även om jag tycker att din vision inte sammanfaller med min egen, och man kan ju inte heller förvänta sig detta. Vad jag däremot vänder mig emot är att du tycks vilja pracka på denna vision på andra och att du inte tycks ha någon förståelse att man kan ha andra visioner. Men sådant hör till och det förlåter jag dig gärna. Allt detta har jag en gång i tiden framfört i Utskicket.

Jag vet inte heller vad för slags IT vision Sverker har, din egen däremot har du utförligt presenterat i ett antal böcker. Att IT-revolutionen bygger på matematik kan ingen förneka, däremot som jag ovan förklarat, jag tycker inte att matematiken skall enbart ses ur det perspektivet. Som alla teknologiska uppfinningar är den på gott och ont, men låt oss inte fördjupa oss i den diskussionen (den kan vara ångestladdande). Min poäng är att de flesta IT-användare har ingen aning om den underliggande matematiken, ej heller är de intresserade av den. Man kan köra bil utan grundläggande kunskaper i fysik som förklarar hur en förbränningsmotor fungerar, varför det är viktigt att hjulen kan snurra i sinsemellan olika hastigheter, eller ens hur rattens rörelse påverkar bilen. Det är bara att vrida om startlåset och tuta och köra. Den moderna IT-tekniken har på inget sätt stimulerat eller underlättat de flesta personers intresse och tillgodogörande av matematiken. Jag skulle snarare vilja hävda tvärtom. Det bidrar till en 'intellektuell alienation' som alla teknik innebär som man inte kan förstå utan betraktar som svarta lådor. Och just svarta lådor är just vad dessa IT-prylar har blivit. Sedan är det en annan sak att dagens ungdom har anammat en känsla för den interface som har utvecklats mellan människa och dator, och däri om något, ligger den ofta hävdade, skickligheten när det gäller datoranvändning, som således är av administrativ art.

Den moderna IT-tekniken har i mitt fall revolutionerat min vardag dels genom e-posten, dels genom Wikipedia, men detta gör bara vissa saker enklare som jag skulle ha gjort i alla fall. Dock det roligaste med datorerna är att man kan programmera (jag föredrar att göra det i C och PostScript, from first principles' inget tjafs med alla dessa programpaket). Jag förstår inte hur folk kan spela dataspel när man kan programmera. Det har faktiskt även fördjupat mitt intresse för matematik, dock ej för specifik matematik som kan ha handfasta IT-tillämpningar. Jag misstänker dock att mitt förhållande till IT inte är speciellt typisk.

Jag tror att de flesta som är intresserade av matematik även är intresserade av att programmera, och de båda aktiviteterna kan berika varandra. Det är ju så att endast om man har en ganska bred matematisk bildning som man får uppslag till intressanta problem att programmera. (Och jag hävdar att i detta sammanhang är viktigt att man programmerar på en ganska låg nivå så att själva programmeringen blir en övning i matematiskt tänkande och inte bara någon knapptrycking som lätt blir fallet om man strävar efter att göra användarvänliga programpaket.). Detta kan i sammanfattning vara min attityd till IT och matematik. Jag misstänker att den inte är speciellt typisk den heller. Dock vad jag vänder mig emot är tanken att tekniska  tillämpningar på olika IT-tekniker, som oftast framhålls när man vill sjunga matematikens lov, verkligen lockar folk. Det genuina matematikintresset skiljer sig inte från det genuina musikintresset. Få personer
 ger sig på den musikaliska banan så att de kan komponera käcka marscher med militär  tillämpning.

Slutligen finner jag argumentet att jag sågar både dig och Sverker samt även pucklar på er bägge, något förbryllande. Dig nämner jag bara i en bisats såsom en 'enabler' (som borde veta bättre?). Vad Sverker har för revolutionerande syn på matematiken i skolan undgår mig, bortsett från att han vill avskaffa den helt. Det är svårt att föra en så kallad konstruktiv dialog med sådana vitt skilda utgångspunkter.

Detta brev blev skrivit i all hast och mina formuleringar är inte så väl genomtänkta, men dock den allmänna trenden bör vara någorlunda klar. Jag orkar dock inte, förkyld som jag är, att skriva något separat på ditt kommentarsfält utan ger dig fria händer att göra vad du vill med detta brev. (Vilket är lite farligt, du kan ju bara presentera lösryckta citat och få det till vad som helst. Men jag litar på din goda vilja.).

Min kommentar följer i kommande post.

Mattelyftet i Praktiken

Nu finns en demo att studera av den fortbildning för matematiklärare som Björklund beställt av Skolverket till en kostnad av 2.6 miljarder och som Skolverket i sin tur beställt av Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) och som NCM nu levererat som

• Taluppfattning och tals användning: Del 1. Att undervisa i matematik, för åk 7-9. 

Demon består av

• en video: katederlektion på högstadiet om division med tal i decimalform, 
• några korta texter. 

I texten upplyses matematikläraren under utbildning i traditionell katederundervisning om en jämförelse med en mer projektorienterad form: 

• Eleverna som arbetat projektorienterat fick tillgång till ett kunnande som var flexibelt och dynamiskt [...] Matematiken blev för eleverna ett verktyg att förstå världen omkring den. I den mer traditionella undervisningen fick eleverna ett statiskt och passivt kunnande, endast användbara i skolinterna och möjligen inommatematiska sammanhang. 

Den katederundervisning som lärarna nu skall lära sig genom att titta på videon döms alltså ut i medföljande text.

Videon producerad av NCM visar hur en superlärare (lite slängigt nochalant men inte elak utan till synes välmenande) lär 16-åringar hur man med katederundervisning (aktiv lärare med klassen helt i sin hand), löser uppgiften att med superlärarens ord:

• på olika sätt räkna ut vad 6 delat med 0.1 blir, en helt naken situation inte taget från nåt sammanhang utan bara rakt upp och ner, rena siffror, utan miniräknare genom att räkna i räknehäftet. 
• Man kan tänka så här: Hur många decimeter går det på en meter? Jo 10. Och på 6 meter blir det ju då 60....sambandet mellan division och multiplikation... en av flera strategier...och 4 gånger 6 är ju 24...vi börjar hitta lite såna där samband... 
• ... snyggt att ni använder det där matematiska språket (till elev som säger: ju mindre nämnaren är desto större blir kvoten)... 

Om nu detta är representativt för Mattelyftet för 16-åringar, så är det inte mycket för pengarna. Bara en förolämpning och psykning av lärare och elever, och det var väl ändå inte meningen Björklund?

Matematikers Existentiella Ångest

Oktobernumret av Svenska Matematikersamfundets Bulletin tar upp frågan om skolmatematiken "behövs". Ordförande Per-Anders Ivert inleder med

• Själv kan jag inte svara på vad som behövs och inte behövs. Det beror på vad man menar med ”behövs” och även på hur skolmatematiken ser ut.

Ulf Persson följer upp med en betraktelse som inleds med:

• Det tycks vara ett faktum att en stor del av befolkningen avskyr matematik och finner skolmatematiken plågsam.

och avslutas med:

• Vad som började med en oskyldig betraktelse över matematikfientlighet utmynnade i existentiell ångest. 
• Kanske bäst att sätta punkt (åtminstone för tillfället).

På vägen dit har jag (och även Sverker Lundin) sågats: 

• Johnson har en vision att all matematik skall vara underställd IT-revolutionen, och att 
• matematik därmed blir ett tekniskt verktyg som endast en liten minoritet behöver befatta sig med.

Ivert och Persson uttrycker den vilsenhet, och därav kommande ångest, som präglar matematikerns syn på sitt ämnes roll i skolan av idag: Yrkesmatematikern vet inte om skolmatematiken längre "behövs" och då vet inte skolmatematikern och eleven det heller. 

Men Persson förvränger medvetet mitt och Sverker Lundins förslag IT-Matematik: Det är inte matematik som underställs IT utan tvärtom IT som bygger på matematik.  Detta gör att matematik verkligen behövs i dagens skola, som förberedelse för IT-samhället för alla elever i begriplig praktisk form, och för elever med intresse för teori i mer avancerad form för individuell utveckling. 

Detta är väl inte så svårt att förstå Ulf? Och om Du förstår så lättar väl ångesten, en smula?

PS. Notera att Persson bearbetar sin ångest genom att puckla på mig och Sverker, och inga andra, vilket visar att det är vi som har något (potentiellt revolutionerande) att komma med, och inga andra.     

Nytt Skolämne: IT-Matematik (S)

Här följer uppdaterad beskrivning av IT-matematik utformad tillsammans med Sverker Lundin:

Skolan i IT-Samhället

Vi lever idag i ett IT-samhälle i snabb förändring driven av en datorkraft som fördubblas var 18e månad enligt Moore's lag, som visat sig gälla sedan datorns introduktion på 1940-talet. Den enskilda datorprocessorns hastighet ökar inte längre utan det är istället antalet processorer som växer.

Alla delar av samhället förändras av IT och eftersom skolan speglar samhället, så kommer även skolan att förändras av IT. I en del förskolor lär sig nu 6-åringar att läsa, skriva och räkna med hjälp av iPad redan i förskolan, vilket radikalt förändrar förutsättningarna för den egentliga skolan.

Datorn i Skolmatematiken

Datorn är en matematikmaskin som automatiskt utför matematiska beräkningar enligt givna datorprogram. 

Vårt moderna samhälle är fullt av datorer. Ofta tänker man bara på persondatorerna, det som nu blivit till laptops, ipads och iphones. Men även kylskåp, TV-apparater och flygplan innehåller datorer. Datorer fungerar lite som apparaters hjärna: med hjälp av datorprogram och matematik tar de in information, bearbetar den och sänder ut signaler som bestämmer vad som skall göras. Principerna är de samma för en Xbox som kör FIFA-13 och en tvättmaskin som kör programmet för kulörtvätt.

Av alla ämnen i skolan är matematik det ämne som mest fundamentalt kopplar till IT-samhället.

Potentiellt sett är därför matematik det ämne som mest fundamentalt kopplar till IT-samhället. Vi skriver potentiellt, eftersom skolmatematiken i dagsläget inte motsvarar denna uppgift. För att förstå och dra nytta av datortekniken behöver man nämligen en helt annan sorts undervisning och träning än den som erbjuds på matematiklektionerna idag.

Skolmatematiken tog form i en tid då det inte fanns datorer, där förmågan att utföra beräkningar - i huvudet eller med papper och penna - spelade en mycket större roll än den gör idag. En lång rad sociala mekanismer har gjort att skolmatematiken hängt kvar i denna målsättning, trots att samhället runt omkring förändrats radikalt.

Skolmatematiken motsvarar inte sin egentliga uppgift. Att den misslyckas att leva upp till sin målsättning, det framgår med all önskvärd tydlighet. Men den strävar inte ens mot det rätta målet. Skolmatematiken kris beror därför varken på bristande lärarkompetens eller att eleverna är ointelligenta och omotiverade.

Det avgörande problemet är att skolmatematiken lever i sin egen värld: den strävar efter sina egna traditionella mål, med sina egna, omoderna och ineffektiva metoder. Förmodligen är detta inte ens något som de flesta rektorer, lärare och elever vill - det är en följd av skolans inneboende tröghet.

Nuvarande skolmatematik är utformad för ett samhälle utan dator, ett samhälle utanför skolan som inte längre finns. Skolmatematiken har alltså förlorat sin uppgift, och den återskapas inte genom att skruva åt tumskruvarna på både lärare och elever i nuvarande system, som Björklund nu gör.

Skolmatematiken behöver alltså reformeras från grunden för att motsvara samhällets nuvarande behov. Reformen genomförs lämpligen genom att det traditionella skolämnet matematik ersätts med ett nytt ämne IT-matematik som lär ut grunderna av IT tillsammans med den matematik som utgör grunden för IT.

IT-Matematik: Datorn Frigör Mänsklig Tanke

Varav består då denna IT-matematik som utgör grunden för IT-samhället? På vad sätt skiljer den sig från traditionell matematik?

Jo, skillnaden är vem som utför den matematiska beräkning, som all användning av matematik leder till, människan med papper och penna eller datorn. Människans förmåga till beräkning är försvinnande liten jämfört med datorn, vilket betyder att människan utan dator bara kan göra det allra enklaste, och även det har visat sig svårt att lära ut, som att dividera heltal eller addera bråk, medan detta och mycket mer inte är någon match för datorn.

Datorn kan alltså frigöra den mänskliga tanken till att göra det den är bra på, nämligen att formulera principer som kan omsättas i datorprogram för beräkning.  Detta är grunden för IT-samhället med Google, ljud, bild, film, simulering i digital form med mera.

Tvärtemot att leda till ökad föreståelse, är den traditionella skolmatematikens fokus på beräkningar ett slöseri med tid och energi. Utanför skolan är man klok nog att låta datorer sköta detta, om det så är kassaapparaten på Konsum som utför triviala aritmetiska beräkningar, eller avancerade beräkningsprogram som används av ingenjörer för att designa vindkraftverk eller radhus.

IT-Matematik: Samspel Människa - Maskin

IT-matematik sätter fokus på samspelet mellan människan och tekniken, för detta har blivit helt centralt i dagens samhälle. Matematiken kan vara en kraftfull resurs i detta samspel - som ett sätt att tänka, som ett sätt att få tekniken att göra det man vill. Men detta har ytterst lite med dagens skolmatematik att göra. Det kräver att datortekniken får en annan roll i skolan än vad den har idag.

Inom IT-matematiken lär sig eleverna att arbeta med tekniken, att använda den för sina egna syften, att ta kontrollen över den - att styra den med hjälp av matematik och programmering. Detta är sannerligen fascinerande, och det är något som eleverna idag går miste om. Istället är det bara det fåtal som lär sig detta på egen hand - säkert på grundval av sina föräldrars sociala position och intressen - som blir rustade att orientera sig och ta kontrollen i det teknikfyllda samhället.

IT-Matematik: Brett Samlingsämne

Skolmatematiken är idag ett i stor utsträckning isolerat skolämne - trots att matematiken, utanför skolan, spelar en central roll inom såväl fysik och kemi, som inom ekonomi, bild, musik och även idrott. Orsaken till denna isolering ligger i skolmatematikens historia; dess envetna fokus på sin egen idé om vad det innebär att förstå och kunna, en idé där eleverna förmåga att utföra beräkningar i huvudet eller med papper och penna står i centrum.

IT-matematiken är inte inåtvänd på detta sätt, utan tar matematiken och datortekniken som utgångspunkt för att göra något, lösa problem, hitta nya ingångar och möjligheter, i skolans övriga ämnen. IT-matematiken gör matematik och datorteknik till fascinerande redskap, för förståelse och problemlösning.

IT-Matematik: Läroplan

I korthet består IT-matematik av

• räkning med hela tal, decimaltal och rationella tal för kvantitativ beskrivning
• analytisk geometri 1, 2 och 3 dimensioner för rumslig beskrivning med tal
• algebra för formulering av samband som algebraiska ekvationer
• derivata och integral för beskrivning av samband som differential/integral ekvationer
• algoritmer för lösning av ekvationer
• programmering. 

Med dessa redskap kan den verkliga världen och tänkta världar specificeras som matematiska ekvationer och sedan simuleras genom att låta datorn lösa ekvationerna, enligt den metod av modellering - lösningsalgoritm - simulering, som är naturvetenskapens metod.

 IT-matematik kopplar därmed direkt till fysik, kemi, ekonomi, bild, musik och även sport och fiction som föremål för datorsimulering, med möjlighet till olika former av spel.

IT-matematik med detta innehåll kan naturligen utformas med ökande bredd och djup från det allra enklaste med start redan i förskolan till en nivå långt över den nuvarande för intresserade elever. Hur ett sådant program kan se ut på universitetsnivå, beskrivs i detalj som Mathematical Simulation Technology. 

Programmet kan se i princip likadant ut på alla nivåer, med gymnasieprogrammet som en förenklad variant av universitesprogrammet, grundskoleprogrammet som en förenklad variant av gymnasieprogrammet osv till förskolan.

IT-matematik innehåller en begränsad kärna av matematik, som inte tyngs av manuell formelmanipulation,  och som öppnar till en mångfald tillämpningar.  IT-matematik kan därmed bli ett brett samlingsämne som inte lämpar sig för standardisering, mätning och gradering, och därför kan upplevas positivt av de flesta elever samtidigt som det kan ge elever med särskilt intresse för IT och tex naturvetenskap utrymme för utveckling.

IT-matematik ges uppgiften att både introducera till IT i alla dess former för att förbereda den unga generationen för IT-samhället, och att lära ut grunderna av IT-matematik. Nuvarande isolering av skolmatematiken elimineras med IT-matematik.

IT-Matematik: Perspektiv

Conrad Wolfram säger på computerbasedmath.org:

• We've got a real problem with math education today.
• I believe that computers correctly used is the silver bullet that can make math education work.
• Computer-based math: Critical reform.
• The country that does it first will leap-frog others.
• This is not an incremental sort of change.
• I want to see a completely renewed changed math curriculum built form the ground up based on computers...
• I am not even sure we should brand the subject as math.
• What I am sure is that it is the main-stream subject of the future.

IT-Matematik: Vidareutbildning av Lärare

För att ersätta den nuvarande skolmatematiken med det nya ämnet IT-matematik  behövs vidareutbildning av lärare. Björklund satsar nu 2.6 miljarder på Mattelyftet för att öka lärarnas kompetens att lära ut den traditionella skolmatematik som spelat ut sin roll. Björklund har givit uppdraget åt Skolverket som skickat det vidare till Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) i Göteborg.

Skolverket visar under Lärarportalen i ett exempel hur denna vidareutbildning kommer att vara utformad: Vi får in en videofilm se hur en superlärare visar hur en vanlig lärare skall gå till väga för att lära elever i åk 9 vad 6 delat med 0.1 kan vara, utan att använda miniräknare, som en demonstration av Björklunds nygamla "kateder-undervisning". Exemplet visar det totala misslyckandet av nuvarande skolmatematik samt den totala meningslösheten av Mattelyftet i NCMs regi.

Samtidigt skriver Skolverket med entusiasm om Matematik och IT: 

• Under hösten kommer vi (S) och övriga oppositionspartier att lägga fram ett förslag om en sammanhållen it-strategi för skolan, säger Ibrahim Baylan.   

Om Björklunds pengar satsades på vidareutbildning av lärare i IT-matematik, istället för meningslös konstgjord andning av död pedagogik, så skulle svensk skola kunna få den injektion av vilja och kunnande att lära och lära ut, som behövs för att lyfta skolan ur sin nuvarande hopplöshet.

IT-Matematik i Affärsplan för Sverige (S)

IT-matematik passar väl in i Stefan Lövens "affärsplan för Sverige" med sikte på konkurrenskraft och innovation. Ett sådant förslag kan mycket väl komma att avgöra valet 2014. Ett nytt möte med S är naturligt.

PS Läs om Matematikers Existentiella Ångest.

Nytt Skolämne: IT-Matematik 1

Här är den första av en serie poster om ett förslag till reform av skolmatematiken som jag avser att lägga fram:

Vi lever idag i ett IT-samhälle i snabb förändring driven av en datorkraft som fördubblas var 18e månad enligt Moore's lag, som visat sig gälla sedan datorns introduktion på 1940-talet. Den enskilda datorprocessorns hastighet ökar inte längre utan det är istället antalet processorer som växer.

Alla delar av samhället förändras av IT och eftersom skolan speglar samhället, så kommer även skolan att förändras av IT. I en del förskolor lär sig nu 6-åringar att läsa, skriva och räkna med hjälp av iPad redan i förskolan, vilket radikalt förändrar förutsättningarna för den egentliga skolan.

Datorn är en matematikmaskin som automatiskt utför matematiska beräkningar enligt givna datorprogram. Av alla ämnen i skolan är matematik det ämne som mest fundamentalt kopplar till IT-samhället.

Men nuvarande skolmatematik motsvarar inte denna uppgift, eftersom den är utformad för ett samhälle utan dator, ett samhälle utanför skolan som inte längre finns. Skolmatematiken har alltså förlorat sin uppgift. Det är detta som är den egentliga orsaken till skolmatematikens nuvarande kris, inte bristande lärarkompetens eller ointelligenta omotiverade elever, och krisen löses inte genom att skruva åt tumskruvarna på både lärare och elever i nuvarande system, som Björklund nu gör.

Skolmatematiken behöver alltså reformeras från grunden för att motsvara samhällets nuvarande behov. Reformen genomförs lämpligen genom att det traditionella skolämnet matematik ersätts med ett nytt ämne IT-matematik som lär ut grunderna av IT tillsammans med den matematik som utgör grunden för IT.

Varav består då denna IT-matematik som utgör grunden för IT-samhället? På vad sätt skiljer den sig från traditionell matematik?

Jo, skillnaden är vem som utför den matematiska beräkning, som all användning av matematik leder till, människan med papper och penna eller datorn. Människans förmåga till beräkning är försvinnande liten jämfört med datorn, vilket betyder att människan utan dator bara kan göra det allra enklaste, och även det har visat sig svårt att lära ut, som att dividera heltal eller addera bråk, medan detta och mycket mer inte är någon match för datorn.

Datorn kan alltså frigöra den mänskliga tanken till att göra det den är bra på, nämligen att formulera principer som kan omsättas i datorprogram för beräkning.  Detta är grunden för IT-samhället med Google, ljud, bild, film, simulering i digital form med mera.

I korthet består IT-matematik av

• räkning med hela tal, decimaltal och rationella tal för kvantitativ beskrivning
• analytisk geometri 1, 2 och 3 dimensioner för rumslig beskrivning med tal
• algebra för formulering av samband som algebraiska ekvationer
• derivata och integral för beskrivning av samband som differential/integral ekvationer
• algoritmer för lösning av ekvationer
• programmering. 

Med dessa redskap kan den verkliga världen och tänkta världar specificeras som matematiska ekvationer och sedan simuleras genom att låta datorn lösa ekvationerna. IT-matematik kopplar därmed direkt till fysik, kemi, ekonomi, bild, musik och även sport och fiction som föremål för datorsimulering, med möjlighet till olika former av spel.

IT-matematik med detta innehåll kan naturligen utformas med stigande bredd och ökat djup från det allra enklaste med start redan i förskolan till en nivå långt över den nuvarande för intresserade elever. Hur ett sådant program kan se ut på universitetsnivå, beskrivs i detalj som Mathematical Simulation Technology. Programmet kan se likadant ut på alla nivåer, bara enklare ju tidigare.

IT-matematik innehåller en begränsad kärna av matematik, som inte tyngs av manuell formelmanipulation,  och som öppnar till en mångfald tillämpningar.  IT-matematik kan därmed bli ett brett samlingsämne som inte lämpar sig för standardisering, mätning och gradering, och därför kan upplevas positivt av de flesta elever samtidigt som det kan ge elever med särskilt intresse för IT och tex naturvetenskap utrymme för utveckling.

IT-matematik ges uppgiften att både introducera till IT i alla dess former för att förbereda den unga generationen för IT-samhället, och att lära ut grunderna av IT-matematik. Nuvarande isolering av skolmatematiken elimineras med IT-matematik.

För perspektiv på IT-matematik, begrunda vad Conrad Wolfram säger:

• We've got a real problem with math education today.
• I believe that computers correctly used is the silver bullet that can make math education work.
• Computer-based math: Critical reform.
• The country that does it first will leap-frog others.
• This is not an incremental sort of change.
• I want to see a completely renewed changed math curriculum built form the ground up based on computers...
• I am not even sure we should brand the subject as math.
• What I am sure is that it is the main-stream subject of the future.

The Enigma of the Aerofoil 3

                                                         Sir Leonard Bairstow (1880-1963)

The Enigma of the Aerofoil by David Bloor describes the dispute in England after the 1st World War between Leonard Bairstow representing Cambridge mathematics and Hermann Glauert influenced by German aerodynamics engineering led by Ludwig Prandtl, concerning the fundamental problem of aerodynamics of flight with the following highlite:

• The International Air Congress for the year 1923 was held in London. It provided a further occasion for assessing the advances that had been made in aeronautics during the war years and for addressing unresolved problems. It was a highly visible platform on which the supporters and opponents of the circulatory theory could express their opinions and, in some cases, air their grievances. 
• In the morning session of Wednesday, June 27, there were three speakers: Leonard Bairstow, Hermann Glauert, and Archibald Low. The first to speak was Bairstow, whose talk was titled “The Fundamentals of Fluid Motion in Relation to Aeronautics.” 
• Bairstow was explicit: his aim was nothing less than the mathematical deduction of all the main facts about a wing from Stokes’ equations and the known boundary conditions. 
• The work of Stanton and Pannell had shown that eddying motion did not compromise the no-slip condition and had established kinematic viscosity as the only important variable. “These experiments appear to me,” said Bairstow, “to remove all doubt as to the correctness of the equations of motion of a viscous fluid as propounded by Stokes and the essential boundary conditions which give a definite solution to the differential equations. 
• The range of these equations covers all those problems in which viscosity and compressibility are taken into account, and from them should follow all the consequences which we know as lift, drag etc. by mathematical argument and without recourse to experiment. Such a theory is fundamental”.
• The boundary conditions were empirical matters, but thereafter everything should follow deductively: lift, drag, changes in center of pressure, the onset of turbulent flow and stalling characteristics, along with a host of other results. 

In short, Bairstow stated that theoretical aerodynamics could be reduced to solving the Navier-Stokes equations for slightly viscous flow using mathematics. Bairstow thus reduced aerodynamics to mathematics, in the same way as celestial mechanics was by Newton reduced to solving the equations of motion for a set of n bodies subject to gravitational attraction, referred to as the n-body problem. 

Newton showed that the equations of motion could be solved analytically for a sun with one planet (n=2) and by followers using perturbation techniques for a planetary system like ours (n=10), which made Newton immensely famous. 

But Bairstow (and nobody else at his time) could solve the Navier-Stokes equations in any case of interest of aerodynamics,  which made his grand plan useless. Bairstow thus had nothing to match Glauert's The Elements of the Aerofoil and Air Screw Theory published in 1926 based on circulation theory for inviscid flow with a fix-up in the form of the Kutta condition at the trailing edge, which gave some results and set the text book standard into our time. 

Today it is possible to solve the Navier-Stokes equations using computers and Bairstow's grand plan can finally be realized.  This shifts the weight back to fundamentals without fix-up boosted by computation, and circulation theory with fix-up has no longer any role to play, as explained in detail on The Secret of Flight.