Ny blogg: NewMath: Mathematics-IT

Jag har startat en ny blogg i form av en version på engelska av reformprogrammet Matematik-IT under namnet NewMath: Mathematics-IT.

Appar som stöder programmet finns nu på App Store for nedladdning: Sök på "newmath" och Du finner 10 st appar att prova.

Läroplan för Matematik enligt Svensk Modell?

Så här skulle läroplanen för matematik se ut om man ersätter svenska språket med matematik i nuvarande läroplan för svenska för grundskolan:

Matematik är människans främsta redskap för att tänka, kommunicera och lära. Genom matematiken utvecklar människor sin identitet, uttrycker tankar och förstår hur andra tänker. Att äga en rik och varierad matematik är betydelsefullt för att kunna förstå och verka i ett samhälle där kulturer, livsåskådningar, generationer och olika matematik möts.

Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper i och om matematiken. Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att ut­veckla sitt matematiska språk så att de får tilltro till sin matematiska förmåga och kan uttrycka sig i olika sammanhang och för skilda syften. Det innebär att eleverna genom under­visningen ska ges möjlighet att utveckla matematiken för att tänka, kommunicera och lära.

Undervisningen ska stimulera elevernas intresse för matematik. Genom under­visningen ska eleverna ges möjlighet att utveckla kunskaper om hur man formulerar egen matematik i skilda medier. Undervisningen ska även syfta till att eleverna utvecklar förmåga att skapa och bearbeta matematik enskilt och tillsammans med andra. Eleverna ska även stimuleras till att uttrycka sig genom olika estetiska matematiska uttrycksformer. Vidare ska undervisningen bidra till att eleverna utveck­lar kunskaper om hur man söker och kritiskt värderar matematisk information från olika källor.

I undervisningen ska eleverna möta samt få kunskaper om ren matematik från olika tider och skilda delar av världen. Undervisningen ska också bidra till att eleverna utvecklar kunskaper om olika former av tillämpad matematik. I mötet med olika typer av matematik, ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin egen matematik och sin förståelse av omvärlden.

Genom undervisningen ska eleverna ges möjlighet att utveckla sina kunskaper om matematik, dess normer, uppbyggnad, historia och utveckling samt om hur matematiskt språk varierar beroende på sociala sammanhang och medier. På så sätt ska undervis­ningen bidra till att stärka elevernas medvetenhet om och tilltro till den egna matematiska och kommunikativa förmågan. Undervisningen ska också bidra till att eleverna får för­ståelse för att sättet man kommunicerar matematik på kan få konsekvenser för andra människor. Därigenom ska eleverna ges förutsättningar att ta ansvar för den egna matematiken.

Undervisningen ska även bidra till att eleverna får möta och bekanta sig med såväl den nordiska grannmatematiken som nationell minoritetsmatematik.

Genom undervisningen i ämnet svenska ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsätt­ningar att utveckla sin förmåga att

• formulera sig och kommunicera matematiskt
• läsa och analysera ren matematik och annan matematik för olika syften,
• anpassa matematiken  efter olika syften, mottagare och sammanhang
• urskilja matematiska strukturer och följa matematiska  normer
• söka information från olika källor och värdera dessa.

P = NP?

The IT guru Donald Knuth has spoken and said that P = NP:

• I've come to believe that P=NP, namely that there does exist an integer M and an algorithm A will solve every n-bit problem belonging to the class NP in $n^M$ elementary steps.
• Some of my reasoning is admittedly naïve: It's hard to believe that P≠NP and that so many brilliant people have failed to discover why.

Knuth then continues to say that the question itself, P = NP? as one of the Clay problems, is not very interesting:

• My main point, however, is that I don't believe that the equality P=NP will turn out to be helpful even if it is proved, because such a proof will almost surely be nonconstructive. Although I think M probably exists, I also think human beings will never know such a value. I even suspect that nobody will even know an upper bound on M.

Knuth here expresses one of the main points I have been preaching to students, that quality without quantitative measure is meaningless:

• to distinguish between exponential and polynomial growth without careful quantitative measure, may be meaningless. 
• to define limit in terms of $\epsilon$ and $\delta$ without specifying the dependence of $\delta$ upon $\epsilon$ in quantitative form, may be meaningless. 

But Knuth's belief that anyway, whatever it means that P = NP, appears to result from a belief that the number of possible algorithms is so incredibly large that it is impossible to say that that there is no algorithm that does not solve a given problem in polynomial time, whatever that means.

Another approach is to consider a specific problem, for exemple solving the heat equation backward in time, which is believed to be exponentially difficult, compared to solving the heat equation forward in time, which  is known to be polynomial in time. 

The number of known algorithms for the backward heat equation is two: 

1. Backward time stepping (exponential)
2. Iterative solution based on forward time stepping (requires stabilisation). 

The instability of the backward heat equation means that 1 is exponential, and depending on how solution tolerance/stabilization is specified, also 2. may come out to be exponential, I guess. 

The question is then if there are other thinkable methods for solving the backward heat equation? 

How to prove such a thing? What is a thinkable method? What says that the number of possible algorithms is large? Isn't it the other way around? That possible algorithms are few?

The P=NP problem is similar to another Clay problem, that on Navier-Stokes equations, in the sense that the quantitative measure needed to make the problem meaningful in the sense of Knuth, is lacking. Thus, at least two of the Clay mathematical problems appear to be meaningless as formulated, and one may ask what that says about contemporary mathematics, or about Clay?  

Läroplan för Svenska enligt Matematisk Modell

Så här skulle läroplanen för svenska i grundskolan se ut om den skrevs på liknande sätt som läroplanen för matematik:

Svenska språket har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Det utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska svenska språket som sådant. Språklig verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala, tekniska och digitala utvecklingen. Kunskaper i svenska språket ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser.

Syfte

Undervisningen i ämnet svenska språket ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om svenska språket och svenska språkets användning i vardagen och inom olika ämnesområden. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för svenska språket och tilltro till sin förmåga att använda svenska språket i olika sammanhang. Den ska också ge eleverna möjlighet att uppleva estetiska värden i möten med språkliga mönster, former och samband.

Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och språkliga situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av svenska språkets uttrycksformer.

Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande språkliga begrepp och metoder och deras användbarhet. Vidare ska eleverna genom undervisningen ges möjligheter att utveckla kunskaper i att använda programmeringsspråk för att kunna undersöka problemställningar, göra beräkningar och för att presentera och tolka data.

Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra språkliga resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med språkets uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om svenska språket i vardagliga och språkliga sammanhang.

Undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla kunskaper om historiska sammanhang där viktiga begrepp och metoder i svenska språket har utvecklats. Genom undervisningen ska eleverna även ges möjligheter att reflektera över språkets betydelse, användning och begränsning i vardagslivet, i andra skolämnen och under historiska skeenden och därigenom kunna se språkens sammanhang och relevans.

Genom undervisningen i ämnet svenska språket ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att

• formulera och lösa problem med hjälp av svenska språket samt värdera valda strategier och metoder, 
• använda och analysera språkliga begrepp och samband mellan begrepp, 
• välja och använda lämpliga språkliga metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, 
• föra och följa språkliga resonemang, och använda svenska språkets uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Kunskapskrav för betyget A i slutet av årskurs 9

Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett väl fungerande sätt genom att välja och
använda strategier och metoder med god anpassning till problemets karaktär samt formulera enkla språkliga modeller som kan tillämpas i sammanhanget. Eleven för välutvecklade och väl underbyggda resonemang om tillvägagångssätt och om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan ge förslag på alternativa tillvägagångssätt.

Eleven har mycket goda kunskaper om språkliga begrepp och visar det genom att använda dem i nya sammanhang på ett väl fungerande sätt. Eleven kan även beskriva olika begrepp med hjälp av språkliga uttrycksformer på ett väl fungerande sätt. I beskrivningarna kan eleven växla mellan olika språkliga uttrycksformer samt föra välutvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra.

Eleven kan redogöra för och samtala om tillvägagångssätt på ett ändamålsenligt och effektivt sätt och använder då symboler, språkliga uttryck, bilder,  grafer, och andra språkliga uttrycksformer med god anpassning till syfte och sammanhang. I redovisningar och diskussioner för och följer eleven språkliga resonemang genom att framföra och bemöta språkliga argument på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.


Kanske detta kan ge visst perspektiv på läroplanen i matematik?

Skolverkets Förslag till Programmering i Skolan

Så har då Skolverket presterat ett utkast till ny läroplaner för grundskolan på Regerings uppdrag att

• förstärka och tydliggöra programmering som ett inslag i undervisningen.

Skolverket säger inledningsvis:

• I vårt utkast föreslår vi att i grundskolan föra in programmering främst i kursplanerna i matematik och teknik.

Vad gäller kursplanen i matematik och programmering säger Skolverket:

• Eleverna skall genom undervisningen ges möjligheter att utveckla kunskaper i att använda programmering och andra digitala verktyg teknik för att kunna undersöka problemställningar, göra beräkningar och för att presentera och tolka data.
• Centralt innehåll i åk 1-3: Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer. Hur entydiga stegvisa instruktioner kan konstrueras, beskrivas och följas. 
• I åk 4-6: Talsystem som använts i några kulturer genom historien och i 
nutid, till exempel den babyloniska samt det binära talsystemet och dess användning i digital teknik. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer. Stegvisa instruktioner i form av algoritmer som kan användas vid programmering. Hur algoritmer kan skapas och programmering kan användas för att undersöka problemställningar. Begreppen sekvens, alternativ och repetition vid programmering.
•  I åk 7-9: Hur algoritmer kan skapas och programmering kan användas för att lösa matematiska problem. Begreppen sekvens, alternativ, repetition och abstraktion vid programmering.

Detta är synnerligen torftigt och intetsägande och innebär att programmering i matematikämnet

kan inskränkas till ett minimum, som kan var hur litet som helst allt efter lärarens inställning och kunskaper i programmering. Skolverket har uppenbarligen tagit fasta på uppdraget att införa programmering som "ett inslag" i undervisningen, där "ett inslag" gärna kan få vara hur litet som helst.

Detta speglar situationen vid högskolan, där matematik, fortfarande idag hur otroligt det än kan låta, i allt väsentligt lärs ut på samma sätt som för 50 år sedan långt före den digitala revolutionen dvs med ett ytterst marginellt inslag av programmering. 

Det är förståeligt att samma krafter som upprätthåller en föråldrad matematikutbildning vid högskolan, strävar att göra detsamma inom skolan med skolan som en spegling av högskolan.   

Med det är inte bra för eleverna och inte bra för Sverige att utbildningen i matematik är omodern och därför har kollapsat till trivialitet,  men det är inte heller en stabil situation:

Den dag då iPaden är elevens främsta arbetsredskap från åk1 inkl riktig programmering, kommer den traditionella matematikundervisningen inte längre kunna bedrivas, eftersom så mycket mer meningsfull matematik då kan läras ut och begripas och användas, till båtnad för elev och land.  

Och den dagen är nu nära enligt Matematik-IT.

Skolverket säger sig vilja ha in synpunkter på sitt förslag, och detta är mina.

Happy Easter PS: My apps are now starting to appear on App Store under the cover NewMath! Take a look and see what 10 year old students are capable of doing, with the right tools! 

Dark Energy Appearing at App Store

The app version of Body&Soul is now starting to appear on App Store with a first app on a new theory of Dark Energy now available for free download.

It gives an eye-opening experience into one of the basic mysteries of modern physics. Try it out and see if you get the idea!

BodyandSoul to appear on App Store

I have now submitted the following interactive apps to App Store:

The apps are under review and should be available for download and inspection in a week or so.
Codes will be available at Matematik-IT.

My plan is to make a complete version of the Body&Soul program in app form. The basic idea is to learn about real and imagined worlds by programming interactive apps simulating these worlds.

Notice in particular the app on Dark Energy connecting to the previous post.

Gravitation, Motion, Programming with Codea and Zeno's Paradox

                                     Fresh reprinting of the world at each new time instant.  

The experience with the programming platform Codea which I am reporting on Matematik-IT  connects to an earlier view exposed on The World as Computation on the connection between matter and gravitation described by Newton's gravitational equation

• $\Delta\phi =\rho$,            (1)

where $\phi (x,t)$ is gravitational potential and $\rho (x,t)$ mass density depending on a Euclidean space coordinate $x$ and a time coordinate $t$, and $\Delta$ is the Laplacian differential operator. 

The conventional way of viewing (1) is to think of mass density $\rho$ as primordial which generates a gravitational potential $\phi$, and corresponding gravitational force $\nabla\phi$, through the integral

• $\phi (x,t) =\frac{1}{4\pi}\int\frac{\rho (y,t)\, dy}{\vert x-y\vert}$      (2)

with apparent (instant) action at distance expressed by the global nature the integral. The trouble with this view is that the physics of (instant) action at distance, supposedly being transmitted by graviton particles (appearently traveling at infinite speed), is still completely open despite centuries of deep thinking by deeply thinking physicists. The idea of matter density as primordial may come from primitive thinking that what we can see/touch, must come first and what we cannot see/touch, must be secondary.

But there is another way of thinking, maybe less primitive, which is to view instead gravitational potential $\phi (x,t)$ as primordial and mass density

• $\rho (x,t) =\Delta\phi (x,t)$      (3)

as being produced by the local operation of differentiation. With this view, there is no action at distance to explain.  What asks for understanding is the physics of (3).

Viewing the world as computation then connects to the way Codea works with the screen being freshly redrawn 60 times a second from the code under function draw()....end, without storing anything previously written on the screen.  This is the same way we perceive the world with our eyes with a fresh image at each new instant.

With this perspective we can think of (3) as the computer code which at each instant draws the world in a new configuration with new mass density $\rho (x,t)$  from a gravitational potential $\phi (x,t)$ which is changing in time according Newtonian mechanics.

In the same way as motion is exhibited by Codea by a sequence of fresh images coded under function draw()...end, the motion of matter we perceive would be a result of fresh reprinting of the world at each new instant according to the code (3).

The alternative view suggests a solution to Zeno's paradox, still unsolved after 2500 years, with the arrow being reprinted at each new instant in time giving the appearance of motion as change of position with time. Think of that!

Note that it Einstein's equations in nearly flat Minkowski space-time reduces to a wave equation variant of Newton's equation of the form

• $-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2h_{\alpha\beta}}{\partial t^2}+\Delta h_{\alpha\beta} =\frac{16\pi G}{c^4}T_{\alpha\beta}$,

where $h_{\alpha\beta}$ is metric perturbation and $T_{\alpha\beta}$ stress-energy. This equation allows waves traveling at the speed $c$ of light as "ripples of the fabric of space-time" in the common mysterious jargon of relativity theory, but the presence of the factor $c^4$ make such waves vanishingly weak. In short, there seems to be little reason to expect a wave equation variant of (1) to have physical significance, which can be seen as support of the alternative view.

Gravitational Waves in Newtonian Mechanics?

We consider a cosmological model in the form of a compressible gas under interaction by gravitation: Find $(\phi ,m,e)$ depending on a space-time coordinate $(x,t)$, such that for all $(x,t)$

• $\Delta\dot\phi + \nabla\cdot m =0$
• $\dot m +\nabla\cdot (um) +\nabla p + \nabla\phi =0$
• $\dot e +\nabla\cdot (ue) +p\nabla\cdot u =0$,       

where $\rho = \Delta \phi$ is matter density with $\phi$ gravitational potential, $u=\frac{m}{\rho}$ is matter velocity with $m$ momentum, $p=(\gamma -1)e$ is pressure with $\gamma > 1$ a gas constant and $e$ is internal (heat) energy, and the dot denotes differentiation with respect to time, see Many-Minds Relativity 20.3.

In the case $u=0$ and $\nabla p=0$, this model reduces to

• $\Delta\dot\phi + \nabla\cdot m =0$,                      (1a)
• $\dot m +\nabla\phi =0$,                                (1b)     

from which follows by differentiating the first equation with respect to time:

• $\Delta\ddot\phi + \nabla\cdot\dot m =0$,
• $\dot m +\nabla\phi =0$,      

that is

• $\Delta\ddot\phi + \Delta\phi =0$,

and thus

• $\ddot\phi + \phi =0$,

which expresses a periodic oscillation of $\phi (x,t)$ in time.

Alternatively, eliminating instead $\phi$ in (1), gives the following wave equation in $m$:

• $\ddot m + \nabla\Delta^{-1}\nabla\cdot m=0$. 

A universe in the form of a compressible gas thus allows a periodically varying gravitational potential $\phi (x,t)$ with corresponding periodic mass density $\rho (x,t)=\Delta\phi (x,t)$, if we extend the model to include mass density varying from positive to negative mass, along with periodic momentum $m$.  The effect of such a locally in space oscillating gravitational potential may at distance be perceived as a varying gravitational field and and thus as a gravitational wave. In this context, recall the recent post on dark energy and dark matter where you can follow the expansion a gravitational wave originating from a local oscillation of gravitational potential:

Newtonian mechanics extended to include both positive and negative mass,  thus appears to allow gravitational waves.  The conclusion that gravitational waves somehow require Einstein's general theory of relativity, may be drawn too quickly. Maybe Newton's theory extended to negative mass is enough.

Absurdity of Modern Physics: LIGO Gravitational Wave Detection as Ill-posed Problem.

                                    Simple mathematical modelling of gravitational waves.  

The BIG NEWS from the physics community is the announced experimental detection of gravitational waves:

• Long ago, deep in space, two massive black holes—the ultrastrong gravitational fields left behind by gigantic stars that collapsed to infinitesimal points—slowly drew together. The stellar ghosts spiraled ever closer, until, about 1.3 billion years ago, they whirled about each other at half the speed of light and finally merged. The collision sent a shudder through the universe: ripples in the fabric of space and time called gravitational waves. Five months ago, they washed past Earth. And, for the first time, physicists detected the waves, fulfilling a 4-decade quest and opening new eyes on the heavens.
• LIGO researchers sensed a wave that stretched space making the entire Earth expand and contract by 1/100,000 of a nanometer, about the width of an atomic nucleus.  
•  The oscillation emerged at a frequency of 35 cycles per second, or Hertz, and sped up to 250 Hz before disappearing 0.25 seconds later.
• Comparison with computer simulations reveals that the wave came from two objects 29 and 36 times as massive as the sun spiraling to within 210 kilometers of each other before merging.
• The collision produced an astounding, invisible explosion. Modeling shows that the final black hole totals 62 solar masses—3 solar masses less than the sum of the initial black holes. The missing mass vanished in gravitational radiation—a conversion of mass to energy that makes an atomic bomb look like a spark. “For a tenth of a second [the collision] shines brighter than all of the stars in all the galaxies,” Allen says. “But only in gravitational waves.”
• “It will win a Nobel Prize,” says Marc Kamionkowski, a theorist at Johns Hopkins University in Baltimore, Maryland.

We understand that an expansion-contraction of the Earth of the size of an atom nucleus diameter as an effect of a "ripple in the fabric of space-time" was detected during 0.25 seconds, and from this observation the conclusion is drawn by computer simulations and modelling that this extremely minute effect as a "ripple in the fabric of space-time", was the result of a very specific extremely gigantic invisible explosion 1.3 billion light years away shining brighter than all stars in all galaxies for 0.25 seconds in the form of gravitational waves. 

We see a combination of a biggest possible cause/input and a smallest possible effect/output in a certain mathematical model. The conclusion comes from using this mathematical model in inverse form, where a smallest possible signal is used to identify a biggest possible origin of the signal. 

This means that the mathematical model in inverse form is extremely ill-posed and as such cannot be used to draw conclusions. To do so requires that all alternative explanations of the zero signal can be eliminated, and it is then not enough to just say that no other explanation immediately suggest themselves, that is to draw conclusions from ignorance with the precision of the conclusions increasing as the ignorance or stupidity grows.